本稿のpdfはこちらをどうぞ
https://slpr.sakura.ne.jp/qp/wp-content/uploads/2021/08/Green_1dclassical5.pdf

問題

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古典的な一次元波動方程式で、非斉次項を持つ問題

を解くことを考えます。この形は、有限範囲内しか相互作用を引き起こさない物に十分遠方から波が入射してきた場合を考える際に現れたりします。

この形の方程式が出てくる状況を考えてみましょう。

の問題を考えます。移項して

ですので、グリーン関数を用いると

となります。ここで、

を満たす関数（一般解）であり、グリーン関数を
で与えられます。ここを満たす関数（特殊解）としました。
式(4)の右辺に解\(f(x,t)\)が含まれていますが、このままの形でとどめておきます。この形にしておくと、ほかの式に\(f(x,t)\)をダイレクトに代入できたり、近似を使うときに便利な形です。

（式（7）はありません）

本稿の目的は、\(\hat{D}\)が\(\hat{D}=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)で与えられている場合に、\(G(x,t; x’,t’)\)の具体的な形を導出することです。

導出

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今、解きたい問題は、

です。デルタ関数をそのまま扱う場合、積分が絡んでこないと扱うのが難しいです。そうでなければ、フーリエ変換を用いて波数・周波数空間で解いていくのが良いでしょう。グリーン関数や、デルタ関数のフーリエ変換を考えると

となります。ここで、基底関数が\(e^{ikx}, e^{-i\omega t}\)と符号が異なることに注意しましょう。
また、積分区間はいつも負の無限大から正の無限大であり、いちいち書くのは面倒なので省略しています。
フーリエ変換として考えるのではなく、基底関数へ射影した時の係数と考えましょう。

実際に式(8)に代入すると

となります。

ここで\(e^{i[k(x-x’)-\omega(t-t’)]}\)はゼロにならないので、その前の項[ ]内がゼロにならなければなりません。よって

が導けます。よって式(9)に代入して

が計算できれば位置と時間のグリーン関数が得られます。

さて、この積分を計算してみましょう。
右辺の\(e^{i\omega t}/\omega\)の形を持つ積分は複素関数論において頻出する積分です。この積分の特徴として、\(\omega\)に渡る積分を実軸上で実行する際に、たまたま\(\omega=\pm \sqrt{a}k\)に等しい点を通ってしまうため、実軸上では被積分関数が発散する、という特徴があります。この発散する点は極と呼ばれており、積分を行う際に積分経路をうまく選んで極を迂回しなければなりません。しかし、厄介なことに極を上に回るか下に回るかで積分結果が変わってしまいます。

もし、天才でしたら当たり前のように適切な積分経路をすぐに思いつくでしょうが、我々凡人には具体的に試してみるくらいしか思いつきません。ですのでちょっとズルしながら因果律を満たす解を探しましょう。

今、我々はグリーン関数について考えています。ということは、計算した結果の境界条件は、因果律を満たすような結果が欲しいわけです。
つまり、グリーン関数が得られた場合、$\theta(t-t’)$の形が出てくるであろうことは予想できます。そのため、これを考慮して極を回る方向を考えてグリーン関数を求めていきましょう。

式(14b)の第一項

について考えます。ヘヴィサイド関数を積分表記で表すと、

と書けることを使います。ここで\(i\)は虚数単位です。もう嬉しいですね。かなり似通った形であることが分かるでしょう。
式(16)の形に持っていくためには変数変換を行えば良さそうです。つまり、極は上に回れば因果律を満たすグリーン関数が得られそうです。

では具体的に計算していきましょう。変数変換\(y=\omega+\sqrt{a}k\)を使って、

となります。分母に\(+i\varepsilon\)を加えるようにして

と求めることができます。

続いて式(14b)の第二項

についても同様に計算していきましょう。変数変換\(y=-\omega+\sqrt{a}k\)を使って、

ヘヴィサイド関数を考えると、

の形が使えそうです(式(16)の\(\omega\to-\omega\)の変数変換ですね)。ですので、

と求められます。

式(18c)と式(22c)より、式(14b)に代入すると

となります。

さて、\(\frac{\sin x}{x}\)の形はsinc関数と呼ばれているほど面白い性質を持つ関数です。そのフーリエ変換は矩形になることが知られています。その計算は実際に
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(k)}{k}e^{ikx}\frac{dk}{2\pi}=\frac{1}{2}\Bigl[\theta(x+1)-\theta(x-1)\Bigr]
\end{align}
となります。

立ち戻り、変数変換\(\kappa=\sqrt{a}k(t-t’)\)を考えれば、

と、グリーン関数が求められました。グリーン関数は\(x-x’, t-t’\)の形をしていることが分かります。そのため、

と書いても良いことが分かるでしょう。ここで、

です。

まとめと補足

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まとめ

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まとめますと、偏微分方程式

の因果律を満たす解は、

となります。以上から、波動方程式

の因果律を満たす一般解は

となります。

補足

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補足します。因果律を満たすグリーン関数である、ということが暗に意味される場合、積分(29a)の時間に渡る積分はグリーン関数に含まれるヘヴィサイド関数を先に利用して、

と積分範囲を組み込んで表記する場合があります。実際の例が式(29c)であり、その時間積分の積分範囲のようになることを見越している、ということです。

少しグリーン関数の物理的な意味を考えてみましょう。
グリーン関数は、ある特定の時刻、ある特定の位置でデルタ関数という非常に特殊な衝撃が生じた結果を記述します。
言い換えれば、偏微分方程式で表されている系が、デルタ関数によってどのような応答を起こすか？という関数です。

式(27b)を見てみると、１つのヘヴィサイド関数\(\theta(t-t’)\)と１つの矩形関数\(\text{rect}\left(\frac{x-x’}{2\sqrt{a}(t-t’)}\right)\)が使われています。
\(\theta(t-t’)\)の部分は、まさに因果律を示しており、衝撃が加わる前の時刻\((t-t’ \lt 0)\)においては系の応答は無いよ、ということを表しています。至極全うでしょう。

矩形関数の部分は、衝撃が生じた後にその衝撃は波及する範囲を表しています。具体的に、時刻\(t=t’\), 位置\(x=x’\)において衝撃が生じた場合、矩形関数の中身が値を持つ範囲は\([x’-\sqrt{a}(t-t’), x’+\sqrt{a}(t-t’)]\)の範囲です。つまり、衝撃が時々刻々と広がっていることを示しています。グリーン関数を図示すると、このような感じです。

衝撃が加わる\(t=0\)を境にグリーン関数が値を持ち始め、それが時間とともに広がっていくのが分かると思います。

ついでにグリーン関数の広がる速度を計算してみましょう。

矩形関数の中身が値を持つ範囲\(x\)は、時間\(\Delta t=t-t’\)の間に、距離\(x-x’=\pm \sqrt{a}(t-t’)\)だけ波及しますから、衝撃の結果が速度\(\pm\sqrt{a}\)で広がっていることが分かります。
これは、古典的な波動方程式でよく知られているように、系の速度が

の系の速度は\(\pm\sqrt{a}\)である、という事実と一致します。
つまり、衝撃が加わった時刻以外では、系そのものの性質しか存在しませんので、衝撃が波及していく速度が一致することは何ら不思議ではありません。むしろ、一致しなければなりません。

近頃SNSやインターネットでよく見る言葉、「位相速度」「群速度」。

元ネタや原理を分かった気になって使っている方、多いのではないでしょうか。
せっかくなので調べてみました！！！

（数式で殴りに殴ったものを以下のページに書きました。真面目に詳細を知りたい方はこちらをどうぞ。）
https://slpr.sakura.ne.jp/qp/group-phase-velocity-delay/

1. そもそも「位相速度」「群速度」って何？
2. 学会騒然。ある波数近傍だけ値を持つ場合にテーラー展開!?
3. 位相速度はどうやって!?驚きの仮定
4. 簡単だと思いました？注意です！
5. いろいろなところに群速度に関する議論が！
6. 最後に
7. Note

そもそも「位相速度」「群速度」って何？

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なにはともあれwikipedia!!
関連するキーワードをササッと知るには強い味方です。
「位相速度」「群速度」を調べるとこのように説明されていました。

群速度（ぐんそくど、英: group velocity）とは、複数の波を重ね合わせた時にその全体（波束）が移動する速度のことである。

群速度　-wikipedia

位相速度（いそうそくど、英語: phase velocity）は、位相、すなわち波の山や谷の特定の位置が移動する速度のことである。

位相速度　-wikipedia

どうやら、波束や波の速度を表現する際に都合が良い言葉なようです。

波束とは何なのでしょう…？また変な言葉が出てきました。wikipediaの出番です！！

波束（はそく、英: wave packet, wave train）は、局所的に存在する波うち/波動であり、移動する1個の波動の塊のようにふるまう。

波束 -wikipedia

うーん、つまり一回だけ波打って、ある程度まとまった波みたいなものですかね。
水面に水が一滴だけ落ちたときに発生する波みたいなものでしょう。

具体的にどういう意味なのでしょうか。気になりますよね！

皆さんも群速度、位相速度の導出が気になったら「tweet」、お願いします！

学会騒然。ある波数近傍だけ値を持つ場合にテーラー展開!?

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角周波数が波数の関数として書けている場合、分散関係があるといいます。
つまり、角周波数\(\omega\)が波数\(k\)に依存して\(\omega=\omega(k)\)と書けている場合、波形のほとんどは

とように書けます！！
本来、位置\(x\)と時間\(t\)で書ける関数は、\(k\)と\(w\)の二重積分で表現されなければなりませんが、分散関係のおかげで\(\omega\)が強制的に決まってしまうので、一重積分で良くなるのですね！
うーん、とても嬉しい！！！！

…でも、あまりに一般的過ぎて分かりませんね。
しかし！！
応用で重要なのは、ゆっくり振動する包絡線と早く振動する波の掛け算で表されていることが多いのです。

つまり、これから考える波が持つ波数は、\(k= k_0\)の周りしか値を持たないのです。ここで、早く振動する波の波数を\(k_0\)と置きました。

\(k_0=5\)の場合、これから考えていく\(f(k)\)はこんな感じの特徴を持っています！ババン！

こんな特徴を持つのならば、\(k=k_0\)以外ではどうせ\(f(k)\to 0\)となるので、考えてもしょうがないっていう近似が使えそうですよね。

そ　こ　で　！

波数\(k=k_0\)周りでいろいろテーラー展開して使用していきます。つまり、\(k=k_0\)の近傍さえ合っていれば、\(k_0\)以外でどんな振る舞いになろうとも\(f(k)\)がゼロになるので大丈夫でしょう！ということです。

早速、分散関係についてテーラー展開を行うと

となります。式を簡単に書くために\(\omega'(k_0)\equiv \frac{d\omega}{dk}\bigr|_{k=k_0}\)と置きました。

計算を進めると、

より、

のように書けます。つまり、式(4)が言っていることは、
時刻\(t\)の波形とは、初期状態\(t = 0\)の波形 \(f(x,0)\)を\(\omega'(k_0)t\)だけ平行移動させた波に、時間だけに依存する位相に関する変化分 \(e^{−i[\omega(k_0)−k_0 \omega'(k_0)]t}\)が掛け合わされたもの、と表すことができる。と言っています。

以上から、初期状態の波が時刻\(t\)に至るまでの速度は\(\omega'(k_0)\)で決まることが分かり、これは
群速度
と呼ばれます！！

位相速度はどうやって!?驚きの仮定

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さて、ここまでで群速度が求まりましたが、位相速度が求められていません。
そこで、もう少し具体的な波の形を定義しましょう。
波が、

と書けている場合を想定します。ここで、振幅\(A(x,t)\)は実数値関数で波の包絡線を表しています。また\(A(x,t)\)の変化は \(k_0\) に比べて非常にゆっくり変化しているものとします。
つまり、

今まで考えてきた仮定が全部使える

んですね！

式(5)に代入しますと

となります。つまり、振幅の変化はいつも初期状態の単なる平行移動として表現することができ、位相の変化も簡単に表せられます。

そこで、振幅が平行移動する速度を群速度\(v_g\)、位相が平行移動していく速度を位相速度 \(v_p\) として定義すると、 式(6c) よりそれぞれ

と定義してしまうのが良さそうです！

簡単だと思いました？注意です！

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注意しなければならないのは、群速度と位相速度の概念は、

振幅と位相を記述する部分がはっきりと区別できるような状況でなければ、定義できない

ということです！振幅部が早く振動していたら、これまでの議論が使えなくなることに注意しましょう。
その場合、群速度と位相速度の概念が変わってしまうので、意味をなさなくなってしまいます。

いろいろなところに群速度に関する議論が！

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様々なところにリンクがあります。やはり皆、群速度の概念を理解するのに苦労しているようですね。

群速度の謎 -平林 浩一, (C) 2006

「yam＠広島大」物理化学Monographシリーズ　”3. 物体の速度と物質波の速度　－E=hνの本質の理解－”

最後に

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それでは皆さん、良い物理ライフを!

Note

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本記事の大枠の構成はいかがでしたか?　-ニコニコ大百科を参照しています。