RLC並列回路の過渡現象

RLC並列回路を考えます。

良くあるページではインピーダンスを考えるだけでよし、としていますが、過渡現象が知りたいですよね。私はそうです。ですので、ラプラス変換を用いて解いていきましょう。

考える回路は以下の図の通りです。

回路方程式を立てれば、



なります。この式(1)と式(2)の計4本の連立方程式を解いて、未知の関数\(i(t),i_1(t),i_2(t),i_3(t)\)を求めることが目標です。

電圧、電流のラプラス変換を

と書くことにします。式(2)を式(1)に代入して、ラプラス変換を施せば、

を得ます。もっと厳密に書けば、式(1b)のラプラス変換には\(i_2(0^-)\)という項が含まれますが、\(i_2(0^-)=0\), すなわち電源がオンになるまでは電流は存在しないと仮定します。

行列表示にすれば

となります。関数\(F_k(s)\)にとって線形の問題です。表記を簡単にするために、

と書くことにします。ここで、\(x, y, z\)は

を意味します。ただの定数です。
クラメルの公式を用いて式(6)を解きます。関数

を定義すれば、式(6)の解は

と書くことが出来ます。あらわに\(G(x,y,z)\)を書けば

と表すことが出来ます。ここで、\(\alpha, \beta\)は

を満たすような解として書きました。
以降、\(\alpha, \beta\)は同じでは場合を考えていきます。
具体的に式(9)に現れる量を計算していけば、

となります。それぞれ、



という結果が得られます。ここにいたるまでに、



という関数を定義しました。
すると、それぞれの電流は

と書くことができ、具体的に

と求められます。
この結果を導くにあたって使用した仮定をまとめますと、
1. \(\alpha\ne \beta\)
2. \(i(t\lt 0)=0\)
という仮定の下、導き出された結果です。

導いた式(20)が合っているのか、直流電圧源を考えて考察してみましょう。
直流電圧源が時刻\(t=t_0\geq 0\)にスイッチオンする場合、電圧は

と書くことが出来ます。式(20)に出てくる積分は

と計算できますので、それぞれの素子を流れる電流は

と書きあらわすことが出来ます。
では、\(t\to\infty\)の漸近形を考えてみましょう。
\(t\to\infty\)の振る舞いは指数関数の型の\(t\)にかかる係数の実部の符号によって支配されます。式(11)より、具体的に\(\alpha, \beta\)を書くと

と求められます。今、\(R, C, L\)は全て正の実数ですので、ルートの項がその前の項の絶対値よりも大きくなることはありません。
よって、\(\text{Re}(\alpha)\lt 0, \text{Re}(\beta)\lt 0\)が導けます。すなわち、

という結果です。
これを式(23)に代入すれば、

という結果が得られます。
電源が入った後に系が十分に落ち着いた定常状態では、コンデンサーは開放、コイルは短絡されたものと見なしてよいので、その結果に見合った振る舞いであることが分かります。

メモとして書いておきますが、式(11)を計算するにあたって\(\alpha \beta\)を計算する必要があります。これは式(24)から求めるのではなく、式(11)の右辺を展開して、\(s^0\)の項を比較すれば

という結果が得られます。

ラプラス変換による回路方程式の解

  1. 回路方程式の組立
  2. ラプラス変換、畳み込み、超関数の積分について
  3. RC直列回路
  4. RL直列回路
  5. RLC直列回路

回路方程式の組立


閉じた回路があって、既知の電圧源が与えられたとき、回路に流れる電流を考えます。
色々考えた結果、間違えないようにするためにキルヒホッフの法則を信じて、
以下のように組み立てれば良いと思いました。

キルヒホッフの法則
閉じた回路内の起電力の和が、閉回路内の電圧降下の和に等しい
という法則を考えます。

ですが、起電力と電圧降下を別に考える、すなわち符号を取り換えるのは良く分かりません。
本稿では、上の起電力と電圧降下を区別しないことにします。
すなわち、キルヒホッフの法則を単純に
\(\displaystyle
\sum_k E_k =0
\)

と書くことにします。
素子の電圧降下分\(E_k\)はそれぞれ

で表されるとします。

電圧源の符号は、考えた閉経路の方向(電流の方向)に沿って電位が上がる場合は正、
反対方向に沿う場合は負として考えます。
素子の電圧降下は何も考えずに、上の表に対応する電圧降下分を書けば良いです。

(補足)回路方程式と運動方程式の対応

回路方程式とニュートンの運動方程式は物理的には全く異なりますが、数学的に似ています。すなわち

電荷\(q(t)\)は、質点の位置\(x(t)\)に対応し、
電流\(i(t)\)は、質点の速度\(v(t)\)に対応、
電圧\(v(t)\)(電位差)は、保存力\(F(t)\)に対応するとみることが出来ます。

ですが、キルヒホッフの法則は、古典力学で対応する法則がありません。
強いていうのであれば、元の位置に戻ってきたときに電位差がゼロなわけですから、
回路方程式は必ず保存力である、もしくはポテンシャルが必ず定義できなければならない、みたいなことでしょうか?
あんまりしっくりきません。

テレゲンの法則と呼ばれる法則が元にあると考えるのが良さそうです。これは、
\(\displaystyle
\sum_k E_k i_k =0
\)

と書かれるので、電圧と電流の積、すなわち単位時間当たりのエネルギー保存則に対応するわけです。
誤解を恐れず、単なるイメージ的に言えば、テレゲンの法則はハミルトニアン的な物として捉えることが出来るでしょう。

ラプラス変換、畳み込み、超関数の積分について


本稿では、ある時刻\(t\)から突然電源が入る、とかそういう現象を扱いたいので、
ラプラス変換を用いて回路方程式を解いていきます。

詳細は述べませんが、関数\(f(t)\)のラプラス変換\(F(s)\)を\(\mathcal{L}[f(t)](s)\)、逆ラプラス変換は\(\mathcal{L}^{-1}[F(s)](t)\)と書くと、

と定義されます。ラプラス変換は変換表を用いて計算することが殆どなので、詳細について知らなくても良いでしょう。
別の言い方をすれば、初等的な範囲でラプラス変換表に乗ってない関数場合、数値的に解くしかないと考えても良いです。

ラプラス変換表はLaplace transform -wikipedia や、wolfram のlaplace transform of exp(-a*t) -wolfram alphaで調べれば良いでしょう。逆変換もinverseとか付け加えれば可能です。

関数同士の掛け算の逆ラプラス変換は畳み込みと関係しています。なので、畳み込みも書いておきましょう。

また、ヘヴィサイド関数\(\theta(t)\)とディラックのデルタ関数\(\delta(t)\)を含んだ積分も頻出しますので、書いておきます。必要になったら参照してください。

RC直列回路


キルヒホッフの法則から出発して、RC直列回路を考えます。

回路方程式は

と書けます。この方程式を解いて、電流\(i(t)\)を求める事が目標です。

辺々にラプラス変換を施せば、

を得ます。ここで、

と置きました。式(2)を\(F(s)\)について解けば、

と書くことが出来ます。ここで、\(f\ast g(x)=\int_{0^-}^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau\)は関数\(f(t)\)と\(g(t)\)の畳み込みを表し、さらに

を定義しました。式(4c)に現れる\(w(t)\)を求めるには、\(W(s)\)の逆ラプラス変換を行えばよいです。計算すれば、

となります。ここで、\(\delta(x)\)はディラックのデルタ関数、\(\theta(x)\)はヘヴィサイド関数です。

式(4d)の両辺を逆ラプラス変換を施すことで、電流\(i(t)\)を得ることが出来ます。計算すれば、

となり、求めたかった電流のあらわな式(7e)が得られます。
ここに至るまで、電圧源が直流であるとか、交流であるとかそういう条件は用いていません。

直流電圧源の場合


直流電圧源を考えます。状況としては、時刻\(t=t_0\)にスイッチがオンになり、電圧\(E_0\)の定電圧が掛かり、電流が流れ始めるという状況を考えます。
すると、電圧源\(v(t)\)は
\(\displaystyle
v(t)=E_0\theta(t-t_0)
\)
と書くことが出来ます。実際に式(7e)に代入して、

となります。もしも\(t_0>0\)ならば、

という結果を得ます。抵抗\(R\), キャパシタンス\(C\)は正ですので、\(t\to\infty\)の漸近で電流は流れなくなることが分かります。

RL直列回路


続いて、RL直列回路を考えます。

回路方程式は

と書くことが出来ます。式(10)の両辺にラプラス変換を施せば

を得ます。\(F(s)\)は\(i(t)\)のラプラス変換を意味しています。\(F(s)\)について解き、RC回路の時と同様に\(i(t)\)を求めれば、

と書くことが出来ます。すなわち電流\(i(t)\)は式(12c)に逆ラプラス変換を施して

と得ることが出来ます。具体的に\(w(t)\)について解けば、

と解けてしまうので、

と解を求める事が出来ます。

直流電圧源の場合


RC回路の時と同様に直流電圧源を考えます。電圧源\(v(t)\)は
\(\displaystyle
v(t)=E_0\theta(t-t_0)
\)
と書くことが出来ます。式(15)に代入して、

と書けます。抵抗\(R\), インダクタンス\(L\)は正ですので、\(t\to\infty\)の漸近でコイルの影響はなくなる、ということを表しています。

RLC直列回路


最後に、RLC直列回路を考えます。

回路方程式は

です。今までと同様に、ラプラス変換を施して

を得ます。\(i(t)\)のラプラス変換である\(F(s)\)について解けば、

を得ますので、\(i(t)\)は

と書けます。\(w(t)\)は

と書くことが出来ます。
これから、\(w(t)\)を具体的に求めるのですが、(式(21b)の括弧内の分母)=0が異なる2つの解を持つか、重解を持つかで場合分けをしなければなりません。
まず、異なる2つの解を持つ場合について計算し、その後、重解を持つ場合について考えましょう。

\(s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{CL}=(s-\alpha)(s-\beta),~~\alpha\ne \beta\)の場合


(式(21b)の分母)=0 が異なる2つの解\(\alpha, \beta\)を持つ場合を考えます。すると、\(W(s)\)は

と部分分数分解することが出来ます。ここで、式が長くなるので\(x=\frac{\alpha}{\alpha-\beta},~~y=\frac{-\beta}{\alpha-\beta}\)と置きました。

すると、式(21b)は計算できて、

となります。
よって、電流\(i(t)\)は

と求められます。

\(s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{CL}=(s-\alpha)^2\)の場合


続いて、(式(21b)の分母)=0 が重解\(\alpha\)を持つ場合を考えます。すると、\(W(s)\)は

と部分分数分解することが出来ます。
よって、\(w(t)\)は

と求められるので、電流\(i(t)\)は

と求める事が出来ました。