クンマーの微分方程式とラゲール陪多項式

量子力学を学ぶ上で出てくる合流型超幾何関数。またはクンマー関数は学部生にとって一つのハードルとなるでしょう。
同時に、ここまで数学と物理学が密接にかかわっているんだ、ということを実感させられるきっかけでもあります。
量子力学の習い始めは、ラゲール陪多項式、ルジャンドル多項式、エルミート多項式等だけで済みますが、散乱問題などに入ると更に一般化した合流型超幾何関数が出てきます。

本稿では概要だけ示し、詳細は以下のPDFに記述しておりますので、ご覧ください。
https://slpr.sakura.ne.jp/qp/supplement_data/laguerre/LaguerrePolynomial.pdf

通常は考えない原点非正則な解も示しております。

クンマーの微分方程式

クンマー(Kummer)の微分方程式
$
\begin{align}
\left[z\frac{d^2 w}{dz^2}+(b-z)\frac{dw}{dz}-aw\right]=0
\end{align}
$
を考えます。クンマーの微分方程式の一般解の一つの組み合わせは、
クンマー関数$M(a,b,z)$とトリコミ(Tricomi)の関数$U(a,b,z)$を用いて
$
\begin{equation}
w=c_1 M(a,b,z)+c_2 U(a,b,z),~~(b\ne -n)
\end{equation}
$
と書かれます。それぞれの関数は、
$
\begin{eqnarray}
M(a,b,z)&=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a)_k}{(b)_k}\frac{z^k}{k!} \nonumber \\
&=&1+\frac{a}{b}z+\frac{(a)_2}{(b)_2}\frac{z^2}{2!}+\cdots+\frac{(a)_k}{(b)_k}\frac{z^k}{k!}+\cdots \label{Mabz}\\
U(a,b,z)&=&\frac{\pi}{\sin(\pi b)}\left[\frac{M(a,b,z)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(b)}-z^{1-b}\frac{M(1+a-b,2-b,z)}{\Gamma(a)\Gamma(2-b)}\right]
\end{eqnarray}
$
という性質を持ちます。ここで、$(a)_n$はポッホハマー記号(Pochhammer symbol)で、
$
(a)_k=\frac{\Gamma(a+k)}{\Gamma(a)}
$
と書け、特に$a, k$が整数であるならば、
$
(a)_k=a(a+1)(a+2)\cdots(a+k-1),~~(a)_0=1
$
を意味します。

ラゲールの微分方程式

特に、クンマー方程式の引数が$a=-n, b=\alpha+1,~(n\mbox{は0以上の整数}, \alpha\mbox{は}-1\mbox{以上の実数})$とする場合、原点正則な解はラゲールの陪多項式で書くことができます。
ラゲールの陪多項式を級数であらわに書けば、
$
\begin{align}
L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{m=0}^{n}(-1)^m\binom{n+\alpha}{n-m}\frac{1}{m!}x^m
\end{align}
$
となります。

ちなみに、ラゲールの微分方程式の原点非正則な解は
$
\begin{eqnarray}
&&U'(-n,\alpha+1,z) \nonumber \\
&&=\sum_{k=1}^\alpha \frac{\alpha!(k-1)!}{(\alpha-k)!(1+n)_k}z^{-k}
-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-n)_k}{(\alpha+1)_k }\frac{z^k}{k!} (\ln(z)+\psi(1+n-k)-\psi(1+k)-\psi(\alpha+k+1)) \nonumber\\
&&\hspace{18em}+(-1)^{1+n}n!\sum_{k=1+n}^{\infty}\frac{(k-1-n)!}{(\alpha+1)_k }\frac{z^k}{k!} \nonumber \\
\end{eqnarray}
$
と書くことができます。

参考文献

M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
(Dover Publications Inc., New York, 1972),https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/toc.htm

NIST Digital Library of Mathematical Functions
https://dlmf.nist.gov/