その他フーリエ変換
ヘヴィサイド関数のフーリエ変換
1のフーリエ変換
\(x\)のフーリエ変換
\(1/x\)のフーリエ変換
\(1/(x^n)\)のフーリエ変換 ← 今ここ

\(\frac{1}{x}\)のフーリエ変換から\(\frac{1}{x^n}\)のフーリエ変換を導けます。
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-ikx}dx =-\pi i ~\text{sgn}(k)
\end{align}
\)
（導出は\(\frac{1}{x}\)のフーリエ変換へ）

部分積分を用いると\(\frac{1}{x^2}\)のフーリエ変換
\(
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}\left(\frac{1}{-ik}e^{-ikx}\right)’dx \\
&=\left[\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{-ik}e^{-ikx}\right]_{-\infty}^{\infty} -\frac{1}{ik}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2}e^{-ikx} dx
\end{align}
\)
第一項はゼロになります。第二項と残りの項と\(1/x\)のフーリエ変換の右辺が等しいので、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2}e^{-ikx} dx =-\pi k ~\text{sgn}(k)
\end{align}
\)
が得られます。
これを繰り返すことで\(\frac{1}{x^n}\)のフーリエ変換
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^n}e^{-ikx}dx &=-\pi i \frac{(-ik)^{n-1}}{(n-1)!}~\text{sgn}(k)
\end{align}
\)
が導かれます。

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-ikx}dx =-\pi i ~\text{sgn}(k)
\end{align}
※ただし、\(x=0\)での値は定義しない。また、\(\text{sgn}(x)\)は符号関数

数値計算による上式の確かめはexp(-ikx)/x の無限区間に渡る積分を数値的に計算したい。をご覧ください。

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実軸上の積分は複素平面の上から近づいた値と下から近づいた値の平均をとって定めるとします。すなわち、
\(
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-ikx}dx \nonumber \\
&=\lim_{\varepsilon\to +0} \frac{1}{2}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx +\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x-i\varepsilon}e^{-ikx}dx \right]
\end{align}
\)
で表されると仮定します。
そして、第1項、第2項をそれぞれ計算していきます。

\(
\displaystyle \lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x\pm i\varepsilon}e^{-ikx}dx
\)
を計算するにあたり、複素x平面上の漸近で収束する半径が\(k\)の符号によって異なるので場合分けをしてます。

\(k\gt 0\)の時

まず、\(\varepsilon\)の符号が正である場合を考えます。
この実軸上の積分は実軸への近づき方を指定して
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx =
\left[\int_{-\infty}^{-\varepsilon’}+\int_{\Gamma_+}+\int_{\varepsilon’}^{\infty}\right]\frac{e^{ikx}}{x}dx
\end{align}
\)
です。ここで、\(\int_{\Gamma_+}\)は特異点周りを複素平面上半面を通る経路です。
この積分を計算するために閉路積分を考えます。すなわち、以下の図の左側のように回った積分を考えます。

すると、この閉経路に対して、
\(
\begin{align}
\oint \frac{e^{-ikx}}{x}dx&=
\lim_{R\to\infty}\left[\int_{-R}^{-\varepsilon’}+\int_{\Gamma_+}+\int_{\varepsilon’}^{R}+\int_{\Gamma’}\right]
\frac{e^{ikx}}{x}dx\\
&=\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx+\lim_{R\to\infty}\int_{\Gamma’}\frac{e^{-ikx}}{x}dx
\end{align}
\)
が成立します。今、閉経路内に特異点が一つ存在し、負の方向に回っているので、左辺\(\oint \frac{e^{-ikx}}{x}dx=-2\pi i\)です。また、大きく外側を回る経路\(\Gamma’\)の積分はゼロです。よって、
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx =-2\pi i.
\end{align}
\)
が示されます。

また、特異点を下に回る積分（図の左の経路）では、閉経路内に特異点は存在しないので、\(\oint \frac{e^{-ikx}}{x}dx=0\)です。なので、
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x-i\varepsilon}e^{-ikx}dx =0.
\end{align}
\)
と導けます。

\(k\lt 0\)の時

まず、\(\varepsilon\)の符号が正である場合を考えます。

kが正の時と異なる点は、漸近で収束する領域が複素x平面の上半面であるという点です。

図の左のような閉経路を考えます。

同様に計算を行うと
\(
\begin{align}
\oint \frac{e^{-ikx}}{x}dx&=
\lim_{R\to\infty}\left[\int_{-R}^{-\varepsilon’}+\int_{\Gamma_+}+\int_{\varepsilon’}^{R}+\int_{\Gamma’}\right]
\frac{e^{ikx}}{x}dx\\
&=\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx+\lim_{R\to \infty}\int_{\Gamma’}\frac{e^{-ikx}}{x}dx
\end{align}
\)
今、閉経路内に特異点を含まないので、左辺\(\oint \frac{e^{-ikx}}{x}dx=0\)、また遠方ではゼロに近づくので、\(\int_{\Gamma’}\frac{e^{ikx}}{x}dx=0\)です。よって、
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx =0.
\end{align}
\)
また、特異点周りを正方向に回る場合、閉経路内に特異点を含むので、
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x-i\varepsilon}e^{-ikx}dx =2\pi i.
\end{align}
\)
となります。

\(k= 0\)の時

\(k=0\)では被積分関数は漸近で収束しません。なので漸近で大きく回った時の値がゼロになりません。

ここからは誤解を恐れずに計算します。
今求めたい積分は
\(
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-i0x}dx =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}dx
\)
です。実軸上の積分がこのページで書いた
\(
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-ikx}dx \nonumber \\
&=\lim_{\varepsilon\to +0} \frac{1}{2}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx +\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x-i\varepsilon}e^{-ikx}dx \right]
\end{align}
\)
で定義されているのだとすれば、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}dx =\lim_{\varepsilon\to +0} \frac{1}{2}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}dx +\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x-i\varepsilon}dx \right]
\end{align}
\)
です。簡単のため、特異点を含まない閉経路を取れば第1項は
\(
\begin{align}
\lim_{R\to \infty}
\left[\int_{-R}^{-\varepsilon’}+\int_{\Gamma_+}
+\int_{\varepsilon’}^{R}+\int_{\Gamma’} \right]\frac{1}{x}dx =\oint \frac{1}{x}dx=0
\end{align}
\)
なので、
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}dx +\int_{\Gamma’} \frac{1}{x}dx =0
\end{align}
\)
となります。外側を回る経路\(\Gamma’\)を通った積分は
\(
\begin{align}
\int_{\Gamma’} \frac{1}{x}dx &=\int_0^\pi \frac{1}{re^{i\theta}}ire^{i\theta} d\theta \\
&=\pi i
\end{align}
\)
と計算できてしまうので、代入すれば
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x+i\varepsilon} dx=-\pi i
\end{align}
\)
となります。また、同様にして
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x-i\varepsilon} dx=\pi i
\end{align}
\)
を得ます。
よって、実軸上の積分の式に代入すれば
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}dx =\lim_{\varepsilon\to +0} \frac{1}{2}\left[(-\pi i) +\pi i \right] =0
\end{align}
\)
を得ます。すなわち、フーリエ変換後の\(k=0\)の値はゼロということです。

計算結果のまとめ

以上をまとめると、3つの関係式
\(
\begin{eqnarray}
\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ikx}}{x+i\varepsilon}dx =
\left\{
\begin{aligned}
-2\pi i~~~(k\gt 0)\\
0~~~(k\lt 0)
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray}
\)

\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-i0x}dx=0
\end{align}
\)

を得ることが出来ました。
これを実軸上の積分の式に代入すると、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-ikx}dx =-\pi i ~\text{sgn}(k)
\end{align}
\)
となります。ここで、\(\text{sgn}(x)\)は符号関数で、
\(
\begin{eqnarray}
\text{sgn}(x) =
\left\{
\begin{aligned}
-1~~~(x\lt 0)\\
0~~~(x=0) \\
1~~~(x\gt 0)
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray}
\)
で定義される関数です。

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1のフーリエ変換結果
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dx =2\pi\delta(k)
\end{align}
\)
を利用します（1のフーリエ変換）。

両辺を\(k\)で微分すると\(x\)のフーリエ変換
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}(-i)xe^{-ikx}dx &=2\pi\delta'(k) \\
\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-ikx}dx &=i2\pi\delta'(k)
\end{align}
\)
が導けます。

これを繰り返せば、\(x^n\)のフーリエ変換
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-ikx}dx &=i^n 2\pi\delta^{(n)}(k)
\end{align}
\)
も導くことが出来ます。

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dx &=-\frac{1}{i}\lim_{\varepsilon\to +0}\left[\frac{1}{k+i\varepsilon }-\frac{1}{k-i\varepsilon }\right] \\
&=-\frac{1}{i}\left[\frac{1}{k+i0}-\frac{1}{k-i0}\right] \\
&=2\pi\delta(k)
\end{align}

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1のフーリエ変換

1のフーリエ変換を求めるためには、ヘヴィサイド関数の無限積分が
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \theta(x)e^{\pm ikx}dx &=\int_{0}^{\infty} e^{\pm ikx}dx\\
&=\lim_{\varepsilon\to +0}\mp\frac{1}{i}\frac{1}{k- i\varepsilon} \\
&=\mp\frac{1}{i}\frac{1}{k\pm i0}
\end{align}
\)
であることを用います（ヘヴィサイド関数のフーリエ変換）。

1のフーリエ変換
\(
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \theta(x)e^{-ikx}dx
\)
は、ヘヴィサイド関数の無限積分を用いて
\(
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dx \\
&=\int_{-\infty}^{0}e^{-ikx}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-ikx}dx \nonumber \\
&=\int_{0}^{\infty}e^{ikx}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-ikx}dx \nonumber \\
&=-\frac{1}{i}\frac{1}{k+i0} +\frac{1}{i}\frac{1}{k-i0} \nonumber \\
&=-\frac{1}{i}\left[\frac{1}{k+i0}-\frac{1}{k-i0}\right]
\end{align}
\)
と求められます。2行目から3行目の式変形は、第1項目に関して変数変換\(x\to -x\)を行っています。

ここで、計算結果
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dx=-\frac{1}{i}\left[\frac{1}{k+i0}-\frac{1}{k-i0}\right]
\end{align}
\)
の右辺が示す意味を考えます。
適当な関数に右辺を作用させたときを考えると、この右辺がデルタ関数の定数倍に等しいことが分かります。

\(
\begin{align}
g(x)=-\frac{1}{i}\left[\frac{1}{x+i0}-\frac{1}{x-i0}\right]
\end{align}
\)
とおいて、ある関数\(f(x)\)に掛けて\(x\)で積分すると

計算前と比較すると
\(
\begin{align}
g(x)&=2\pi \delta(x) \\
&\to \delta(x)=-\frac{1}{2\pi i}\left[\frac{1}{x+i0}-\frac{1}{x-i0}\right]
\end{align}
\)
としてデルタ関数が表現されていることが分かります。

結論

実軸上の積分とは、複素平面からの近づき方を指定して、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=
\frac{1}{2}\left[\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty+i\varepsilon}^{\infty+i\varepsilon}f(x)dx+
\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty-i\varepsilon}^{\infty-i\varepsilon}f(x)dx\right]
\end{align}
\)
と求められるようです。
このように表現されていると考えなければ、\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}/x dx\)の解が得られません。
図にするとこういう極限を取る、という意味です。

特に、実軸上\(x=0\)に１位の特異点が１つ存在する場合、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx=
\int_{-\infty}^{-\varepsilon}\frac{f(x)}{x}dx+
\frac{1}{2}\left[
\int_{\Gamma_+}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\Gamma_-}\frac{f(x)}{x}dx
\right]+
\int_{\varepsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx
\end{align}
\)
と書かれます。ここで、\(\varepsilon\to +0\)である必要はありません。

\(\Gamma_+\)は実軸上の点\(x=-\varepsilon\)から複素平面で、特異点の上を通って実軸上\(x=\varepsilon\)に戻る経路、
\(\Gamma_-\)は実軸上の点\(x=-\varepsilon\)から複素平面で、特異点の下を通って実軸上\(x=\varepsilon\)に戻る経路
です。

図では

という経路です。
右図の点線の経路でも積分結果が変わりません。なぜなら、点線と実線で囲まれた領域内に特異点が無い状況を考えているです。

コーシーの主値とは、複素平面の迂回部分を消した値であり、さらに\(\varepsilon\to +0\)を課した実軸上のみの積分結果です。\(x=0\)に１位の特異点がある場合、
\(
\begin{align}
\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx=
\lim_{\varepsilon \to +0}\left[
\int_{-\infty}^{-\varepsilon}\frac{f(x)}{x}dx+
\int_{\varepsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx
\right]
\end{align}
\)と表現されるはずです。

コーシーの主値を用いて、本来の実軸上の積分を評価しようとすれば、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx=
\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx+
\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon\to +0}\left[
\int_{\Gamma_+}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\Gamma_-}\frac{f(x)}{x}dx
\right]
\end{align}
\)
と書けるはずです。ここで、複素平面を回る経路は特異点を回る半径を無限小にした時の値でなければなりません。

実軸上に特異点が無い場合、積分の\(\Gamma_{+/-}\)からの寄与はゼロになります。なので、コーシーの主値積分と本来の実軸上の積分は一致します。すなわち、
\(
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx
\)
が成立します。

特異点をずらす操作について

特異点が実軸上にある時、

• 特異点を迂回する経路を通って積分
• 特異点をずらして積分

の二通りが頻出します。結局は同じことをしています。重要なのは、特異点の上を通るか下を通るかという点のみです。
１位の特異点が実軸上に存在する時、特異点をずらす場合、ずらし方として
\(
\frac{f(x)}{x+i\varepsilon}, \frac{f(x)}{x-i\varepsilon}
\)
となります。
ここで、\(\lim \varepsilon\to 0\)を取らなければなりませんが、この操作の本質は、特異点の無い積分領域の端では実軸上にいなければならない、という要請から来るものです。

特異点周りを半径無限小で回らなければならない理由はありません。

なので、特異点をずらしてから実軸上に近づける操作は、上、もしくは下を迂回して積分することと同じです。

具体的な関数をずらした時はこんな感じ。\(\varepsilon=0.2\)にとって描画しています。

注意

これは私の解釈です。

以下の4つの計算が正しい場合、上記の解釈でなければ正しい結果が出ません。
ヘヴィサイド関数のフーリエ変換
1のフーリエ変換
\(x\)のフーリエ変換
\(1/x\)のフーリエ変換
\(1/(x^n)\)のフーリエ変換

しかし、上記の説明を行っている教科書、解説ページを見受けることはできませんでした。
なので、あくまで私が正しいと思い、この考えでないと導出が出来ず、また反例が今のところ見つかっていないだけです。

コーシーの主値に意味を見出すことができません。
実際に現れる値は（実軸上の経路）＋（特異点周りをまわる経路）であるからです。

コーシーの主値でなければならない理由がありましたら、是非ともお知らせいただけると幸いです。
特異点の周りを半径+0で回らなくていいことは、具体的に複素平面上の数値積分を行って確かめています。