1/(x^n)のフーリエ変換

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\(\frac{1}{x}\)のフーリエ変換から\(\frac{1}{x^n}\)のフーリエ変換を導けます。
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-ikx}dx =-\pi i ~\text{sgn}(k)
\end{align}
\)

(導出は\(\frac{1}{x}\)のフーリエ変換へ)

部分積分を用いると\(\frac{1}{x^2}\)のフーリエ変換
\(
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}\left(\frac{1}{-ik}e^{-ikx}\right)’dx \\
&=\left[\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{-ik}e^{-ikx}\right]_{-\infty}^{\infty} -\frac{1}{ik}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2}e^{-ikx} dx
\end{align}
\)
第一項はゼロになります。第二項と残りの項と\(1/x\)のフーリエ変換の右辺が等しいので、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2}e^{-ikx} dx =-\pi k ~\text{sgn}(k)
\end{align}
\)
が得られます。
これを繰り返すことで\(\frac{1}{x^n}\)のフーリエ変換
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^n}e^{-ikx}dx &=-\pi i \frac{(-ik)^{n-1}}{(n-1)!}~\text{sgn}(k)
\end{align}
\)

が導かれます。


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