xのフーリエ変換

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\(1/x\)のフーリエ変換
\(1/(x^n)\)のフーリエ変換

1のフーリエ変換結果
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dx =2\pi\delta(k)
\end{align}
\)

を利用します(1のフーリエ変換)。

両辺を\(k\)で微分すると\(x\)のフーリエ変換
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}(-i)xe^{-ikx}dx &=2\pi\delta'(k) \\
\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-ikx}dx &=i2\pi\delta'(k)
\end{align}
\)

が導けます。

これを繰り返せば、\(x^n\)のフーリエ変換
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-ikx}dx &=i^n 2\pi\delta^{(n)}(k)
\end{align}
\)

も導くことが出来ます。


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