プログラミングと数値計算, 数学

特殊関数

3件のコメント

以下に示すのは

・ラゲール陪多項式(Associated Laguerre Polynomials):\(L_n^{(\alpha)}(x)\)
・ルジャンドル陪多項式(Associated Legendre Polynomials):\(P_l^m(x)\)
・ヤコビ多項式(Jacobi Polynomials)\(P_n^{(\alpha,\beta)}(x)\)
・エルミート多項式(Hermite Polynomials):\(H_n(x)\)
とその1階微分、2階微分

のfortran90用のプログラムです。
複素平面で有効です。

このプログラムを使用して生じた問題に対する責任は一切取りません。
ミスがあるかもしれないことを念頭に置いて使ってください。
また、使えない場合がありましたらご連絡いただけると幸いです。

※2017/10/27
整数次数の、実数、複素引数エルミート多項式を追加しました。

特殊関数のモジュール”specialfunction”

プログラム例

呼び出す際は総称名
関数：Laguerre(n,a,x), legendre(l,m,x), jacobi(n,a,b,x)
1階微分：Laguerre1(n,a,x), legendre1(l,m,x), jacobi1(n,a,b,x)
2階微分：Laguerre2(n,a,x), legendre2(l,m,x), jacobi2(n,a,b,x)
を用いてください。

ラゲール陪多項式\(L_n^{(a)}(x)\)の引数の型(n,a,x)の組み合わせは、
(n,a,x) : 整数型、　整数型、　　倍精度型　:　出力は倍精度型
(n,a,x) : 整数型、倍精度型、　　倍精度型　:　出力は倍精度型
(n,a,x) : 整数型、倍精度型、複素倍精度型　:　出力は複素倍精度型

ルジャンドル陪多項式\(P_l^m(x)\)の引数の型(l,m,x)の組み合わせは、
(l,m,x) : 整数型、整数型、　　倍精度型　:　出力は倍精度型
(l,m,x) : 整数型、整数型、複素倍精度型　:　出力は複素倍精度型

ヤコビ多項式\(P^{(a,b)}_n(x)\)の引数の型(n,a,b,x)の組み合わせは、
(n,a,b,x) : 整数型、　　倍精度型、　　倍精度型、複素倍精度型　:　出力は複素倍精度型
(n,a,b,x) : 整数型、複素倍精度型、複素倍精度型、複素倍精度型　:　出力は複素倍精度型

というものが有効になっています。

実際に全部使っているプログラムはこちら。

program main
  use specialfunction
  implicit none
 
  write(6,*)laguerre(4,2,4.78d0)
  write(6,*)laguerre(3,2.5d0,4.78d0)
  write(6,*)laguerre(8,dcmplx(1.6d0,3.01d0),dcmplx(5.64d0,49.1d0))
 
  write(6,*)legendre(8,5,0.28d0)
  write(6,*)legendre(6,2,dcmplx(1.8d0,2.7d0))

  write(6,*)jacobi(3,2.15d0,1.85d0,dcmplx(4d0,8.1d0))
  write(6,*)jacobi(3,dcmplx(1.2d0,0.5d0),dcmplx(5d0,0.3d0),dcmplx(4d0,8.1d0))

  stop
end program main

引数は適当に入れています。
spfunc.f90にmoduleを入れ、
temp.f90に上の12行のコードを書きコンパイル→実行すると、

$ ifort spfunc.f90 temp.f90
$ ./a.out    
    3.2997056066666568    
  -8.4458666666671553E-002
 (  454556598.95966828     ,  376437598.22472727     )
   9378.9803534037801    
 ( -519656.04147187521     ,  135464.19972749997     )
 ( -10936.767937499992     , -2092.2704999999974     )
 ( -18248.193121999979     , -10218.566324666655     )
$

と言う結果を得ます。
wolfram alphaと確かめてみましょう。計算で入れた値はそれぞれ、
\(
\begin{align}
& L_4^2(4.78) \\
& L_3^{2.5}(4.78) \\
& L_8^{1.6+i3.01}(5.64+i49.1) \\
& P_8^{5}(0.28) \\
& P_6^{2}(1.8+i2.7) \\
& P_3^{(2.15,1.85)}(4+i8.1) \\
& P_3^{(1.2+i0.5,5+i0.3)}(4+i8.1) \\
\end{align}
\)
です。

wolframの結果と比較したのがこちら。
spfunc_wolfram
下線部が上記プログラムとwolframとで一致した桁です。
まぁまぁいいんじゃないでしょうか。
\(L_8^{1.6+i3.01}(5.64+i49.1)\)の結果が著しく良くないのが気になります･･･使う際は安定な範囲を確かめてから使ってください。

以下、ここで示している特殊関数の定義と関係式です。

ラゲール陪多項式

  • 定義域

    \(\;\;\;\;
    0 \lt x \lt \infty
    \)

  • 微分方程式

    \(\;\;\;\;
    \displaystyle
    \left[x\frac{d^2}{dx^2}+(\alpha+1-x)\frac{d}{dx}+n\right]L_m^{(\alpha)}(x)=0
    \)

  • 具体例

    \(\;\;\;\;
    \begin{align}
    & L^{(0)}_0(x)=1 \\
    & L^{(0)}_1(x)=-x+1 \\
    & L^{(0)}_2(x)=\frac{1}{2}(x^2-4x+2) \\
    & L^{(0)}_3(x)=\frac{1}{6}(-x^3+9x^2-18x+6) \\
    & L^{(1)}_0(x)=1 \\
    & L^{(1)}_1(x)=-x+2 \\
    & L^{(1)}_2(x)=\frac{1}{2}\left(x^2-6x+6\right) \\
    & L^{(1)}_3(x)=\frac{1}{6}\left(-x^3+12x^2-36x+24\right)
    \end{align}
    \)

  • 漸化式

    \(\;\;\;\;
    \begin{align}
    L_n^{(\alpha)}(x)&=\binom{n+\alpha}{n}a_0(x) \\
    &\hspace{1em}a_{m-1}(x)=1-\frac{n-m+1}{m(\alpha+m)}\cdot x\cdot a_m(x) \\
    &\hspace{5em}(m=n,n-1,n-2,\cdots,1,\;\;a_n(x)=1)
    \end{align}
    \)
    [1]
    1階微分
    \(\;\;\;\;
    \begin{align}
    \frac{d}{dx}L_n^{(\alpha)}(x)=-L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)
    \end{align}
    \)
    2階微分
    \(\;\;\;\;
    \begin{align}
    \frac{d^2}{dx^2}L_n^{(\alpha)}(x)=L_{n-2}^{(\alpha+2)}(x)
    \end{align}
    \)

  • 直交性

    \(\;\;\;\;
    \displaystyle
    \int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{\alpha}L^{(\alpha)}_n(x)L^{(\alpha)}_{n’}(x) dx =\frac{\Gamma(\alpha+n+1)}{n!}\delta_{n,n’},\;\;(\alpha>-1)
    \)
    [2]

ルジャンドル陪多項式

  • 定義域

    \(\;\;\;\;
    1 \lt x \lt -1
    \)

  • 微分方程式

    \(\;\;\;\;
    \displaystyle (1-x^2)\frac{d^2}{dx^2}P_l^m(x)-2x\frac{d}{dx}P_l^m(x)+\left[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}P_l^m(x)\right]=0
    \)

  • 具体例

    \(\;\;\;\;
    \begin{align}
    & P_0^0(x)=1 \\
    & P_{1}^{-1}(x)=\frac{1}{2}(1-x^2)^{1/2} \\
    & P_{1}^{0}(x)=x \\
    & P_{1}^{1}(x)=-(1-x^2)^{1/2} \\
    & P_{2}^{-2}(x)=\frac{1}{8}(1-x^2) \\
    & P_{2}^{-1}(x)=\frac{1}{2}x(1-x^2)^{1/2} \\
    & P_{2}^{0}(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1) \\
    & P_{2}^{1}(x)=-3(1-x^2)^{1/2} \\
    & P_{2}^{2}(x)=3(1-x^2)
    \end{align}
    \)

  • 漸化式

    用いている式
    \(\;\;\;\;
    \begin{align}
    & P_{|m|}^{|m|}(x)=(-1)^{|m|}(2|m|-1)!!(1-x^2)^{\frac{|m|}{2}} \\
    & P_{l}^{-m}(x)=(-1)^m\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(x) \\
    & P_{|m|}^{|m|+1}(x)=(2|m|+1)xP_{|m|}^{|m|}(x) \\
    & P_{|m|}^{|m|+q}(x)=\left(\frac{2|m|-1}{q}+2\right)xP_{|m|}^{|m|+q-1}(x)-\left(\frac{2|m|-1}{q}+1\right)P_{|m|}^{|m|+q-2}(x)
    \end{align}
    \)[3]
    1階微分
    \(\;\;\;\;
    \begin{align}
    m=\pm 1&\; \\
    &:\hspace{1em} \frac{d}{dx}P_l^m(x)=\frac{lx}{(x^2-1)}P_l^m(x)-\frac{l+m}{(x^2-1)} P_{l-1}^m(x) \\
    m\ne\pm 1\; \\
    &:\hspace{1em} \frac{d}{dx}P_l^m(x)=c_{2}P^{m+2}_{l-1}(x)+c_0 P^{m}_{l-1}(x)+c_{-2} P^{m-2}_{l-1}(x) \\
    &\hspace{1em} c_{2}=\frac{1}{4(m+1)}\\
    &\hspace{1em} c_{0}=\frac{l+m}{2}\left(1+\frac{l}{1-m^2}\right)\\
    &\hspace{1em} c_{-2}=-\frac{(l+m)(l+m-1)(l+m-2)(l-m+1)}{4(m-1)}
    \end{align}
    \)
         ※\(m=\pm 1\)の時、\(x=\pm 1\)で発散します。
    2階微分
    \(\;\;\;\;
    \begin{align}
    m=\pm 1,\pm 3&\; \\
    &:\hspace{1em} \frac{d^2}{dx^2}P_l^m(x)=\frac{1}{1-x^2}\left[2x\frac{dP_l^m(x)}{dx}+\frac{(l+1)(l+m)}{2l+1}\frac{dP_{l-1}^m(x)}{dx}-\frac{l(l-m+1)}{2l+1}\frac{dP_{l+1}^m(x)}{dx}\right] \\
    m\ne\pm 1,\pm 3&\; \\
    &:\hspace{1em} \frac{d^2}{dx^2}P_l^m(x)=c_{2}\frac{dP^{m+2}_{l-1}(x)}{dx}+c_0 \frac{dP^{m}_{l-1}(x)}{dx}+c_{-2} \frac{dP^{m-2}_{l-1}(x)}{dx}
    \end{align}
    \)
         ※\(m=\pm 1,\pm 3\)の時、\(x=\pm 1\)で発散します。

  • 直交性

    \(l\)に対する直交性
    \(\;\;\;\;
    \displaystyle
    \int_{-1}^{1} P_{m}^{l}(x)P_{m}^{l’}(x) dx =\frac{2}{2l+1}\cdot \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{l,l’}
    \)
    [2]

ヤコビ多項式

  • 定義域

    \(\;\;\;\;
    -1 \lt x \lt 1
    \)

  • 微分方程式

    \(\;\;\;\;
    \displaystyle
    \left[(1-x^2)\frac{d^2}{dx^2}+(\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x)\frac{d}{dx}+n(n+\alpha+\beta+1)\right]P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=0
    \)

  • 漸化式

    \(\;\;\;\;
    \begin{align}
    P_n^{(\alpha,\beta)}(x)&=\binom{n+\alpha}{n}a_0(x) \\
    &\hspace{1em}a_{m-1}(x)=1-\frac{(n-m+1)(\alpha+\beta+n+m)}{2m(\alpha+m)}(1-x)\cdot a_m(x)\\
    &\hspace{5em}(m=n,n-1,n-2,\cdots,1,\;\;a_n(x)=1)
    \end{align}
    \)
    [1]
    1階微分
    \(\;\;\;\;
    \begin{align}
    \frac{d}{dx}P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta+n+2)}{2\Gamma(\alpha+\beta+n+1)}P_{n-1}^{(\alpha+1,\beta+1)}(x)
    \end{align}
    \)
    2階微分
    \(\;\;\;\;
    \begin{align}
    \frac{d^2}{dx^2}P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta+n+3)}{2^2\Gamma(\alpha+\beta+n+1)}P_{n-2}^{(\alpha+2,\beta+2)}(x)
    \end{align}
    \)

  • 直交性

    \(\;\;\;\;
    \begin{align}
    \displaystyle
    &\int_{-1}^{1} (1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}P_{n}^{(\alpha,\beta)}(x)P_{n’}^{(\alpha,\beta)}(x)dx \\
    &\hspace{4em}=\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1}
    \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{n!\Gamma(n+\alpha+\beta+1)}\delta_{nm}\\
    &(\alpha>-1,\ \beta>-1)
    \end{align}
    \)    [2]

参考文献

[1] Abramowitz & Stegun (1965), ISBN 978-0486612720 (Numerical Method, 22.18, Page 789)
[2] Abramowitz & Stegun (1965), ISBN 978-0486612720 (Numerical Method, 22.2, Page 774,775)
[3] Associated Legendre polynomials -wikipedia

関連記事

このエントリーをはてなブックマークに追加

「特殊関数」への3件のフィードバック

  1. 大変助かります。

    ”ifort gamerf2a.f spfunc.f90 temp.f90”　によって実行形式が出力されるということですが、
    以下の理解でよろしいでしょうか。
    temp.f90がメイン　呼び出しを行うところで、ページに示されているトータル12行
    spfunc.f90が特殊関数（ラゲールとか）の部分（クリックで展開するところ）

    gamerf2a.fはガンマ関数の呼び出しだろうと思いますが、サイト内に含まれているでしょうか。
    ガンマ関数を紹介されているページもありますが、あの中にあるでしょうか。

    ソース名を明示していただければ助かります。
    よろしくお願いします。

    返信

  2. すみません。
    ifort gamerf2a.f spfunc.f90 temp.f90
    のこれらのソースファイルとページ内に示されたのファイルの関係はどうなっているでしょうか。3つのソースですが、ページには2つしか示されていないようです。
    想像はできますが、明示していただけたらと思います。また、1つ足りないのはガンマ関数を呼び出すソースなのだろうと思いますが。

    返信

    1. 私が使ってたコマンドとファイル名をそのままコピペしてたみたいですね。

      >spfunc.f90が特殊関数（ラゲールとか）の部分（クリックで展開するところ）
      これは正しいです。
      >temp.f90がメイン　呼び出しを行うところで、ページに示されているトータル12行
      これも正しいです。

      gamerf2a.fは使っていないので無くて構いません。
      なので、入力すべきコマンドは

      ifort spfunc.f90 temp.f90

      です。

      ちなみに、gamer2a.fとは、
      http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/gamerf-j.html
      で公開されているガンマ関数のコードです。
      このページは一度更新されていて、更新前はこちらのコードの一部を利用していたのです。

      返信

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 ※ が付いている欄は必須項目です