平方根の値を簡単に得る方法です。

もしかしたら、某福〇漫画に出てくるように、\(\sqrt{2}\)を計算しないと命がヤバいみたいな状況に陥るかもしれません。そんな状況を乗り切りましょう。

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開平法による筆算とかニュートン法を手でやる方法とかありますが、
覚えるのが大変ですし、計算過程が大変でミスが起こります。

使うべきは
連分数
です。
連分数を使うと平方根の計算が1回の割り算に変わります(確かめのためには2回の割り算が必要)。

早速本題に入りましょう。
\(\;\;\;\;\sqrt{2}\)
を求めてみます。

まず式変形をします。
\(
\;\;\;\;\sqrt{2}=1+(\sqrt{2}-1)
\)
として、整数部分\(1\)と小数部分\((\sqrt{2}-1)\)に分けます。
そして、小数部分に対し、
\(
\;\;\;\;\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}
\)
を掛けますと、
\(
\;\;\;\;\displaystyle \sqrt{2}=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}
\)
になります。ここで、整数部分を左辺に移行しまして、
\(
\;\;\;\;\displaystyle \sqrt{2}-1=\frac{1}{1+\sqrt{2}}
\)
とします。ここで、
\(
\;\;\;\;x=\sqrt{2}-1
\)
と置いて、\(\sqrt{2}=x+1\)を代入すると
\(\;\;\;\;
\begin{align}
x&=\frac{1}{2+x} \\
x&=(2+x)^{-1} \;\;\cdots (1)
\end{align}
\)
なる関係式が得られます。
\(\sqrt{2}=x+1\)ですから、\(x\)が求まればいいわけです。

ここまで来れば後は簡単です。漸化式と見立てて(1)を逐次的に解けばいいのです。
まず、(1)式に\(x(=\sqrt{2}-1)\)の近似値として0という値を入れます。
この値は\(x\)の近似値であれば何でも構いませんが、後々のために整数か分数にしたほうがいいです。

(1)の右辺に代入します。{　}の中身は、そこで打ち切った時に割り算して求めた場合の結果で,アンダーラインは\(x=\sqrt{2}-1=0.414213562372\cdots\)との一致具合を表します。

[1回目]

\(
\displaystyle (2+0)^{-1}=\frac{1}{2}\;\;\;\{\cdots x=0.5\}
\)

[2回目]

\(
\displaystyle (2+\frac{1}{2})^{-1}=\frac{2}{5}\;\;\;\{: x=0.\underline{4}\}
\)

[3回目]

\(
\displaystyle (2+\frac{2}{5})^{-1}=\frac{5}{12}\;\;\;\{: x=0.\underline{41}66\cdots\}
\)

[4回目]

\(
\displaystyle (2+\frac{5}{12})^{-1}=\frac{12}{29}\;\;\;\{: x=0.\underline{41}379\cdots\}
\)

[5回目]

\(
\displaystyle (2+\frac{12}{29})^{-1}=\frac{29}{70}\;\;\;\{: x=0.\underline{4142}857\cdots\}
\)

[6回目]

\(
\displaystyle (2+\frac{29}{70})^{-1}=\frac{70}{169}\;\;\;\{: x=0.\underline{4142}011\cdots\}
\)

[7回目]

\(
\displaystyle (2+\frac{70}{169})^{-1}=\frac{169}{408}\;\;\;\{: x=0.\underline{41421}568\cdots\}
\)

[8回目]

\(
\displaystyle (2+\frac{169}{408})^{-1}=\frac{408}{985}\;\;\;\{: x=0.\underline{414213}131\cdots\}
\)

[9回目]

\(
\displaystyle (2+\frac{408}{985})^{-1}=\frac{985}{2378}\;\;\;\{: x=0.\underline{414213}624\cdots\}
\)

[10回目]

\(
\displaystyle (2+\frac{985}{2378})^{-1}=\frac{2378}{5741}\;\;\;\{: x=0.\underline{4142135}551\cdots\}
\)

[11回目]

\(
\displaystyle (2+\frac{2378}{5741})^{-1}=\frac{5741}{13860}\;\;\;\{: x=0.\underline{41421356}421\cdots\}
\)
…

ただ2倍して足して、分子分母をひっくり返せば計算できるので、何も難しいことはありません。
ここまでの計算は5分もかからないでしょう。

しかも、途中で計算ミスをしても構わないのです。
なぜなら、近似値からさらに良い値にどんどん更新していくからです。計算回数を多くしないといけないだけです。

収束性を確かめたいのなら、もう一回増やしたものを計算する必要があります。その差を見ると良いでしょう。

一回だけ割り算をしなければなりませんね。これはどうしてもなくせません。
ただし、\(\sqrt{2}\)が1.41421356と分かっていれば、筆算の計算は途中までは掛け算と引き算で行けます。そう考えるとまぁ多少は簡単なんですかね・・・？

参考文献

連分数の応用 -講義ノート、筑波大