平均、分散、標準偏差

(i) 全データが存在する場合

　例１：４０人クラスにおいてテスト点数の解析を行いたい(４０人全員の点数を知っている)。
　例２：過去１年間、365日で体重がどのくらい増減したかの解析をしたい(365日分のデータが存在する)。
平均\(m\)
\(
\displaystyle m=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i
\)
分散\(v\)
\(
\displaystyle v=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-m)^2
\)
標準偏差\(\sigma\)
\(
\displaystyle \sigma=\sqrt{v}
\)

平均値から\(\pm 66\%\)の誤差に収まっている範囲は、
平均m ± 標準偏差σ　と書ける。
例1 のクラスの点数の場合は、
平均m ± 標準偏差σ [点]　　となる。

(ii)一部分のデータしか存在しない場合

例１：４０人クラスにおいて２３人しかテストの点数を知らないが、その２３人からクラス全体の点数の解析を行いたい（２３人の点数は分かる。残り１７人の点数は不明）。
　例２：過去１年間、365日で体重の増減を解析したいが、200日分のデータしかない。だけど１年の解析を行いたい（165日分のデータは不明、紛失した）。
　　　　例３：物理量の測定（測定回数が1000回だとしても、物理量は無限回の測定をしなければ真値は不明だ、と考える。）

この場合、平均、分散、標準偏差は
平均\(m’\)
\(
\displaystyle m’=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i
\)
分散\(v’\)
\(
\displaystyle v’=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-m’)^2
\)
標準偏差\(\sigma’\)
\(
\displaystyle \sigma’=\sqrt{v’}
\)
平均値から\(\pm 66\%\)の不確かさに収まっている範囲は、
平均m’ ± 標準偏差σ’　と書ける。
例1 のクラスの点数の場合は、
平均m’ ± 標準偏差σ’ [点]　　となる。