正多角形とスピログラフの数式

正多角形とスピログラフの数式です。

  1. 正多角形(2次元)
  2. 正多角形(3次元)
  3. 星型多角形(2次元)
  4. 星型多角形(3次元)
  5. トロコイド(2次元)
  6. トロコイド(3次元)
  7. スピログラフ

2016/10/24
幾何学模様を作りたい方は幾何学模様(gnuplot)へどうぞ。


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正多角形の式(2次元)


正n角形の数式は[1]を参考に修正しました。
正n角形の数式は、
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x&\displaystyle =\cos t \cdot \frac{\cos \frac{a_n}{2}}{\cos\left[a_n\left\{\frac{t}{a_n}-{\rm floor}\left(\frac{t}{a_n}\right)\right\}-\frac{a_n}{2}\right]}\\
y&\displaystyle =\sin t \cdot \frac{\cos \frac{a_n}{2}}{\cos\left[a_n\left\{\frac{t}{a_n}-{\rm floor}\left(\frac{t}{a_n}\right)\right\}-\frac{a_n}{2}\right]}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
です。ここで、\(a_n=\frac{2\pi}{n}\)と置きました。また、\({\rm floor}(x)\)は床関数(床関数と天井関数)を表します。
媒介変数\(t\)の範囲は(\(0\le t \lt 2\pi\))です。
グラフを書かせてみますとこうなります。

polygon3_10_c
n=3,4,5,6
n=7,8,9,10の順で、単位円を一緒に記述しています。
線の色の濃さは媒介変数の値に応じて変化させています。

gnuplotのスクリプトはこちら

多面体の式(3次元)


半径1の多面体は、平面のx,yの媒介変数による正n角形の関数をそれぞれpc(t),ps(t)と置くと、
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x& = {\rm ps}(u)\cdot {\rm pc}(v) \\
y& = {\rm ps}(u)\cdot {\rm ps}(v) \\
z& = {\rm pc}(u)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
と書けます。
媒介変数\(u,v\)の範囲は(\(0\le u \lt \pi, \;\; 0\le v \lt 2\pi\))です。

プロットすると以下のようになります。
polygon3d_3_10_c
n=3,4,5,6
n=7,8,9,10の順です。

gnuplotスクリプトはこちら

星型多角形(2次元)


\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x&\displaystyle =\cos t \cdot \frac{\cos a_n}{\cos\left[a_n -\frac{1}{n}\cos^{-1}\{\cos(nt)\}\right]}\\
y&\displaystyle =\sin t \cdot \frac{\cos a_n}{\cos\left[a_n -\frac{1}{n}\cos^{-1}\{\cos(nt)\}\right]}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
です(\(n\ge 5\))。ここで、\(a_n=\frac{2\pi}{n}\)と置きました。
グラフを書かせてみるとこのようになります。
starpolygonp_c

gnuplotスクリプトはこちら。
※\(\cos^{-1}(\cos(x))\)は不安定です。
場合により書けなくなることがあります。ここでは上記関数の代わりに、正弦波ではない周期関数の数式
で記述した関数\(s(a,x)\)を用いています。

星型多角形(3次元)


3次元の場合は多面体の時と同じように、平面のx,yの媒介変数による星型多角形の関数をそれぞれstpc(t),stps(t)と置くと、
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x& = {\rm stps}(u)\cdot {\rm stpc}(v) \\
y& = {\rm stps}(u)\cdot {\rm stps}(v) \\
z& = {\rm stpc}(u)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
と書けます。
媒介変数\(u,v\)の範囲は(\(0\le u \lt \pi, \;\; 0\le v \lt 2\pi\))です。
グラフはこのようになります。
starpolygon3dp_c

gnuplotスクリプトはこちら。

トロコイド(2次元)


トロコイドと呼ばれる曲線があります[2]。
これをgnuplotで書いてみましょう。数式は[2]を参考にして以下の通りです。
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x& = \left[(n-1)\cos t +h\cos((n-1)t)\right]/n \\
y& = \left[(n-1)\sin t +h\sin((n-1)t)\right]/n
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
\(h=1\)の時、半径が1の円に内接するように決めています。
また、\(n\)が整数の時、内接する円が外側の円をちょうど一周回った時に元の位置に戻る条件です。
別に整数でなくても構いません。その時はもっと複雑なものになることでしょう。

書いてみますと曲線はこうなります。
自由度\(h\)を1にしてグラフを書いてみましょう。
trocoid2d_3_10_c

自由度hを少し変えてみましょう。
trocoid2dh_3_10_c

トロコイド(3次元)


3次元の場合は多面体の時と同じように、平面のx,yの媒介変数によるトロコイドの関数をそれぞれhcyc(t),hcys(t)と置くと、
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x& = {\rm hcys}(u)\cdot {\rm hcyc}(v) \\
y& = {\rm hcys}(u)\cdot {\rm hcys}(v) \\
z& = {\rm hcyc}(u)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
と書けます。
媒介変数\(u,v\)の範囲は(\(0\le u \lt \pi, \;\; 0\le v \lt 2\pi\))です。

trocoid3d_3_10_c
n=3,4,5,6
n=7,8,9,10の順です。

gnuplotスクリプトはこちら

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スピログラフ(2次元)


スピログラフは遊んだ方も多いと思います。これです。
1024px-Spirograph
©Alexei Kouprianov/2007/CC-BY 2.5
スピログラフはトロコイドの特別な時です。スピログラフをもっと一般化したのがトロコイドです[2]。

図示すれば、スピログラフと言うのは
speq_compressed
という二つの円からなる軌道です。黄色の点線の長さが等しい、という束縛条件が課せられます。
数式は上のトロコイドと同じで
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x& = \left[(n-1)\cos t +h\cos((n-1)t)\right]/n \\
y& = \left[(n-1)\sin t +h\sin((n-1)t)\right]/n
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
と書けます。

もう少し考えを一般化して、周りを取り囲んでいる形状が円ではない時を考えましょう。その時の数式を考えます。
考え方はトロコイドと一緒ですが、もう少し拡張しましょう。

今、2つの媒介変数による軌道を持っていたとします。1つの媒介変数の軌道上を動かせばスピログラフの考えと同じになります。図で示すと以下のようになります。
spirograph_any_c
スピログラフは両方円であり、滑りが無い(cを決定する条件)場合に対応するわけです。ただ、円である必要性はないので、多角形であろうが、何だろうが数式上では書けるわけです。
興味深い事に、大きな軌道に沿って小さな軌道を動かした、と見ようが小さな軌道に沿って大きな軌道を動かしたとみても数式上では一緒なのです。面白いですね。

いくつか例を挙げます。
五角形上を動かす場合はこうです。
parameter1

数式として,
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x& = f_{1x}(t)+r\cdot f_{2x}(s\cdot t) \\
y& = f_{1y}(t)+r\cdot f_{2y}(s\cdot t)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
と書き表すことにします。これを元にgnuplotのスクリプトを書けば以下のようになります。

色々に変化させた時の色々なときのグラフです。
spr2_any_compressed

rを綺麗な数字にしなければもっと複雑な図が得られます。
また、この考え方は3つの媒介変数の軌道、4つの媒介変数の軌道…として容易に拡張できます。
もっと複雑な模様が欲しければ、もう少し増やしてみましょう。

例えば3つの場合はこうなります。
parameter3_spi
このスクリプトを置いておきます。

この考えを拡張していくと”フーリエ級数の図示化”と言うのができるわけです。

実際にやっている方がいるので紹介しておきますね。

参考文献


[1]Is there an equation to describe regular polygons? -MATHEMATICS
[2]Hypotrochoid -Wolfram Mathworld


「正多角形とスピログラフの数式」への2件のフィードバック

  1. はじめまして。trickerと申します。

    とても詳しくスピログラフについて書かれており、勉強させていただきました。参考にさせ頂き、私も実際にPythonで2次元のスピログラフを書いてみました。

    簡単ですが、以下に自分が書いたコードを投稿した際にこ
    のページも参考にした旨記載させていただきました。

    https://qiita.com/trickre/items/c8813fd359eac48f5571

    ご報告まで。ありがとうございました。失礼します。

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