「サバイバルゲーム」カテゴリーアーカイブ

モスクワのミリタリーショップ

モスクワのミリタリーショップの場所
Белорусская(ベラルースカヤ)駅
・ロシアの航空会社АЗРОФЛОТ(アエロフロート)の看板の真下
・開店時間:10:00-20:00、定休日不明。2016/10/17(月)確認

場所


モスクワのミリタリーショップは
Белорусская(Belorusskaya, ベラルースカヤ)駅の近くにあります。
駅を降りて、周りを見渡すとデカデカとロシアの航空会社АЗРОФЛОТ(アエロフロート)の看板が見えます。その看板の真下にミリタリーショップがあります。
開店時間は2016/10/17(月)時点で10:00-20:00でした。定休日は分かりません。
※サバゲー用のミリタリーショップではありません。BB弾を飛ばすエアガンはありませんし、迷彩服やナイフ、アクセサリー、ピンバッチがメインです。

値段


薄手のミリタリー服上下で1500-2000rub
ロシアの冬用のミリタリー服で3000-4000rub前後でした。
帽子は複数種類があり、薄手の通常の帽子は300rub、
冬用の「ウシャンカ」と呼ばれる円柱のような帽子は1200rubでした。

また大きいナイフがあり、これらは600rub-2000rub前後で売られていました。
ピンバッチはものすごく豊富にあり、1つ当り60-200rub前後で売られていました。
警察の服もありました。

行き方
russia_military_c

google地図では↓
https://www.google.co.jp/maps/place/%E3%83%AD%E3%82%B7%E3%82%A2+%E3%83%A2%E3%82%B9%E3%82%AF%E3%83%AF/@55.7775767,37.582996,17.67z/data=!4m5!3m4!1s0x46b54afc73d4b0c9:0x3d44d6cc5757cf4c!8m2!3d55.755826!4d37.6173?hl=ja
のATAKAというお店です。

バレル内部でのBB弾の方程式

バレル内部でのBB弾の運動方程式です。

目的は、

BB弾は何秒間バレル内部に存在しているのか?
バレルが長いと減速になりうるのか?

を知ることです。詳細は弾道計算本をご覧ください。

弾道計算(BB弾)の理論
弾道計算(BB弾)の結果
弾道計算の結果2, 比較と詳細データ
弾道計算(BB弾)のコード(fortran90)
バレル内部でのBB弾の方程式←今ここ


電動ガンの場合です。
バレル内部1
空気抵抗は初速0[m/s]から90[m/s]前後にまで加速されるわけですから、空気抵抗の粘性抵抗、慣性抵抗どちらの項も無視することはできないでしょう。

空気の漏れも考えます。

この条件下では、バレル内部の運動方程式は以下のように導くことができます。

内部圧力変化と力


ピストン-BB弾間の圧力変化による力\(F_V(t)\)は、
\(
F_V(t)=S\cdot P(t)
\)

と書けます。ここで\(P(t)\)はピストン-BB弾間の内部圧力です。
\(P(t)\)は、断熱変化を仮定すると、ピストン-BB弾間体積\(V(t)\)を用いて
\(
P(t)V^{7/5}(t)=\text{const}
\)

の関係があります。体積\(V(t)\)は
\(
V(t)=x(t)S_b-x_0(t)S_s
\)

と書けます。ここで、ピストンの位置による時間変化を\(x_0(t)\)、BB弾の位置を\(x(t)\)、バレルの断面積を\(S_b\)、シリンダーの断面積を\(S_s\)としました。
この式は時刻に依存せずに決まるので、時刻\(t=0\)の時に大気圧\(P_0\)で、体積\(V_0\)であれば、任意の時刻での圧力\(P(t)\)は
\(
\displaystyle P(t)=P_0 \left(\frac{V_0}{V(t)}\right)^{7/5}
\)

と書けます。

空気の漏れについて


十分短い時間の間、時刻\(t\)において内部圧力\(P(t)\), 空気の密度\(\rho\)とすると、漏れ出る空気の速度\(v(t)\)はベルヌーイの定理から
\(
\begin{align}
P(t)&=\frac{1}{2}\rho v(t)^2+P_0 \nonumber \\
&\to v(t)=\pm \sqrt{\frac{2}{\rho}(P(t)-P_0)}
\end{align}
\)
が成立するとします。厳密には、ピストンの速度は漏れ出る空気の速度に対して無視できるほど小さい、という仮定の下で成立します。漏れ出る流量\(Q\)は、バレル-BB弾の隙間の断面積\(A\)、実験とのズレを調節する無次元の流量係数\(c’\)を用いて\(Q=c’ A v(t)\)と書けます。
また、断熱過程を圧力-体積の関係を用いたいので、漏れ出る空気はBB弾-ピストン間の体積の増加として扱います。

フルシリンダーの場合の運動方程式


その他、空気抵抗による力を入れると、BB弾の位置\(x(t)\), ピストンの位置\(x_0(t)\), 体積\(V(t)\)の運動方程式は
\(
\begin{align}
m\frac{d^2}{dt^2}x(t)&=\left[P(t)-P_0\right]S_b-\left(6\pi \eta R |v(t)|+\frac{1}{2}C_d \rho \pi R^2 |v(t)|^2\right)\frac{v(t)}{|v(t)|} \label{bbin1}\\
m_s\frac{d^2}{dt^2}x_0(t)&=-k\left[x_0(t)-x_B-l\right]-[P(t)-P_0]S_s -F_f\label{bbin2} \\
\frac{d}{dt}V(t)&=v(t)S_b-v_0(t)S_s+c'(S_b-\pi R^2)\mathrm{sgn}(P(t)-P_0)\sqrt{\frac{2}{\rho}|P(t)-P_0|} \label{bbin3}
\end{align}
\)
と導くことが出来ます。

ここで、\(P_0\)は大気圧、\(\eta\)は粘性率、\(R\)はBB弾の半径、\(C_d\)は抗力係数、\(\rho\)は空気の密度, \(S_b\)はバレルの断面積、\(S_b\)はシリンダーの断面積、\(k\)はピストンのばね定数、\(l\)はばねの自然長、\(F_f\)はピストン-シリンダーの摩擦、\(v(t),v_0(t)\)はそれぞれBB弾の速度、ピストンの速度を意味します。

空気抵抗に関する詳細は球体の空気抵抗と係数をご覧ください。

ここで1つ言えることは、外部と内部の圧力が一定になる最適なバレル長というものが存在する、ということです。

さて、計算結果はこのページには載せません。弾道計算本として計算結果をまとめた本を出しているので、そちらをご参照ください。本の詳細については弾道計算本の自家通販をご覧ください。

補遺


補遺1
理想気体として扱える条件は、
低い気圧(分子の数が少なく、衝突等が無視できる)かつ高い温度(分子間力が分子の運動エネルギーに比べて無視できる)
です。
どうやら実在気体では10気圧以下、室温以上でこの条件は良く満たされ、理想気体とのずれは1%以内のようです[1]。
[1]を引用すると、

一般に,沸点の低い酸素・窒素・水素・ヘリウム等は,室温またはそれ以上の温度で10atm以下の圧力の場合,理想気体の値の1%以内で理想気体に近い性質を示す。

とあります。ピストンで空気が圧縮されたとき、BB弾とピストン間の圧力が10気圧以上にならなければ良い近似だと言えるでしょう。

参考文献


[1] 実在気体 -第2節 気体の状態方程式
[2]PERFECT HIT -TOKYO MARUI

『集弾性アップへの道』 BB弾とバレル内部に隙間があることが写真で確認できます。

サバゲー用品まとめ

銃本体やパーツを安く、いろいろ見たい場合は
ガンショップFIRST
が良いと思います。

装備品の種類の豊富さ(服装、ポーチ等)では
S&Graf , エスアンドグラフ ミリタリー&カジュアルショップ
lro1
が群を抜いています。

人が少なくて、お店が綺麗で、見やすく、実際に銃に触れるお店は、
41PX 秋葉原
s41PXakihabara
がお勧めです。

購入したもの欲しいもの


銃本体

何もカスタムしなければ、0.5ジュール程度出ます。


mp7a1用マガジン

東京マルイ純正の多段マガジンは弾詰まりが頻発するそうです。使ってみた感想では、これは弾詰まりは起こりませんでした。


スコープ

初心者にはもってこいのものだと思います。
実際、工具なしでサイトの調節ができるのでとても使いやすいです。
前面にBB弾からスコープを守るカバーもついているので安心です。


mp7a1用バッテリー

【電動コンパクトマシンガン】対応バッテリーと充電器に関するご案内より、mp7a1用のバッテリー『No125 7.2V マイクロバッテリーEX CM-02』の生産は2015年5月に終了しています。
今後は在庫が尽きるまで提供は続けられますが、変換アダプター

を購入し、
No16 7.2V マイクロ500バッテリー
を購入することが推奨されています。




サバイバルゲームにはトレッキングシューズが最適かと思います。サバゲだけで履くのはもったいないので普段履きもできるこれがよさそうです。


無線

これは欲しいものです。やっぱりアンテナが長いほうが遠くまで聞こえるそうです。
ついでにこれも。


ヘッドセット
http://www.amazon.co.jp/gp/product/B001T7QJ9O?psc=1&redirect=true&ref_=ox_sc_act_title_1&smid=A2ZUZH56GAXKNY

無線があったらヘッドセットもそろえたいよね。

弾道計算(BB弾)の結果2、違う重さでの比較

本稿の主要な結果は、様々なパラメータでの、BB弾の軌道の詳細なデータです。

この結果に付随して、
0.25g0.8Jの軌道は
0.20g1.2Jの軌道と同じであることが分かりました。

上下振れ幅が最小になる軌道における、重さとエネルギー、ゼロイン位置を様々にとった時のそれぞれのデータです。
弾道計算を数値計算によって行い、結果を考察することが本稿の目的となります。
※本稿では規定のエネルギーを超える場合のデータがありますが、このデータは全て数値シミュレーションであるため、こういったエアガンを持っている訳ではありません。

弾道計算に関するその他ページ
弾道計算(BB弾)の理論
BB弾の回転量について(実験との比較)
弾道計算(BB弾)の結果
弾道計算の結果2, 比較と詳細データ←今ここ
弾道計算(BB弾)のコード(fortran90)
バレル内部でのBB弾の方程式
水中下でのBB弾の弾道計算


様々なパラメータの最適な軌道


ここで載せるデータは、以下の組み合わせです。

BB弾の重さ: 0.20g , 0.25g
エネルギー:0.60J 0.65J 0.70J 0.75J 0.80J 0.85J 0.90J
ゼロイン位置:25m 30m 35m 40m 45m 50m 55m 60m(0.25gのみ)
各々でどのような軌道を描くかの計算結果を載せます。
破線はホップ無しの軌道に対応しています。

↓これは低画質です。高画質版はこのリンク(4.3MB)を踏んでください。
弾道詳細データ_高画質2 - コピー_c


最適な軌道に合わせるためには下向きに初速を与えます。
その時、下向きに何度傾けて撃てばいいか、のデータはこちらです。

ゼロインと下向き角度


前提


まず、規定速度うんぬんは別にしまして、事実を述べます。

  1. BB弾は重いほど弾はまっすぐ飛ぶ
  2. 射出速度が早いほど弾はまっすぐ飛ぶ
  3. ホップを掛けるほど弾は上下に揺れる

これらは紛れもない事実です。
よって、BB弾を飛ばす最高の条件とは、
「射出速度を早くし、ホップは余りかけないで重いBB弾を使うこと」
となります。
だからこそ、射出速度を速めようとして規定速度の話になります。

最適な軌道とは?


BB弾を飛ばすうえで最適な軌道とはどんな軌道でしょう?
それはホップによる上下方向の揺れを最小限に抑える軌道です。
この最適な軌道とは、BB弾の重さとエネルギーとゼロイン位置を決めた時の理想的な軌道、ということです。

ゼロイン位置と上下の振れ幅とは何かは、下の画像をご覧ください。
0.25,0.8_compressed

重さとエネルギーを決めても、どの角度で射出すればいいか、回転数はいくつか、など他のパラメータが残ります。
それを決めるため、ホップによる上下方向の揺れを最小限に抑える軌道を定めます。

この軌道を ”最適な軌道” と呼ぶことにします。

重さの違いによる軌道の具体的な影響


今度は、ゼロイン位置を固定します。
そして、BB弾の重さとエネルギーを変化させたとき、どのような軌道をたどるか見てみましょう。
zeroin50_2_cc

この結果から分かることは2点あります。

1つ目は、エネルギーを上げていくと軌道の変化が小さくなる
2つ目は、重いBB弾の軌道ほどまっすぐ飛ぶ

ということです。

エネルギーを上げると軌道の変化が小さくなる

0.20gの場合でゼロインを50mに合わせ、エネルギーを0.1Jずつ増やしていったとき、上下振れ幅がどのくらい減少していくのか見てみましょう。

0.60J→0.70J … 14.2cm
0.70J→0.80J … 10.4cm
0.80J→0.90J … 8.0cm
0.90J→1.00J … 6.2cm
1.00J→1.10J … 5.0cm
1.10J→1.20J … 4.2cm
1.20J→1.30J … 3.6cm
1.30J→1.40J … 3.0cm

となります。エネルギーを変えるよりも重さを変えるべきです。
それだけで軌道は大きく変わります。

例えば、0.80Jで射出できるエアガンで、使うBB弾を0.25gで射出すると、この時、軌道は0.20g1.2Jの軌道にほぼ一致します。
m020J12m025J08_2_c

まぁ、軌道自体は一致するのですが、残念ながら到達時間は一致しません。
約0.1秒(まばたき程度)、0.20g1.2Jのほうが早くなります。
zeroin50_2_time_c

追記)
0.25gで0.90Jは、0.20gの1.35Jの軌道におおよそ相当します。
0.30gで0.80Jは、0.20gの1.60J, 0.25gの1.05Jの軌道におおよそ相当します。
0.30gで0.90Jは、0.20gの1.80J, 0.25gの1.20Jの軌道におおよそ相当します。

0.25gで0.8Jでうまく合わせられたら50m飛ばしても上下の振れ幅40cmです。
上に20cm、下に20cmしかずれません。
また、エネルギーを上げても空気抵抗の強さは速度の2乗に比例して強くなるため、それに見合うようなの飛距離の伸びは得られません。


補足


「流速チューン」というものがあるそうですね。
流速チューンの問題点と改善案について -週休5日

流速チューン比較テスト その1「初速変化」 -Gunsmithバトン
にあるように。

本稿ではこれらのことについては全く触れていません。
というのも、銃口から射出された直後の初速と回転数の2つだけが軌道に影響するためであり、発射するまでの過程に何があったか?などどうでもいいのです。
数値計算の観点から言いますと、通常の軌道よりも「まっすぐ遠くまで飛ぶ」場合、初速が上がっていること以外には考えられません
BB弾を飛んでいる最中で加速させる要因など無いのです。


※1
なぜBB弾を使う限り初速を稼ぐことが無駄なのか?
これは空気抵抗が関係します。
空気抵抗の大きさは弾道計算(BB弾)の理論で書いたように、BB弾の半径\(R\)と速度\(v\)にのみ依存します。
空気抵抗力を半径\(R\)と速度\(v\)の関数として\(F_d(R,v)\)、質量\(m\)とすると、その運動方程式は
\(
m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=F_d(R,v)
\)
であり、両辺をmで割れば
\(
\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=F_d(R,v)/m
\)
となります。BB弾の半径や、温度、空気は変えられないので、可変なパラメータは質量と速度のみです。
そして右辺だけに注目すれば、質量が大きいほど空気抵抗力があたかも小さくなるのです。
すなわち、空気抵抗力を減らそうとするにはBB弾の重さを変えるほかない。
また、初速を変えても空気抵抗は速度の2乗で効いてくるため、皮肉なことに速度が早いほど空気抵抗力が強くなっていくのです。
よって、高いエネルギーでは初速を上げてもそれに見合っただけの結果は得ることはできないのです。

弾道計算(BB弾)の結果

弾道計算(BB弾)の数値計算結果を中心にまとめます。


2016/07/09 追)
このページに置いて、「○○回転」の「回転」と書いてあるところは実際の回転量の約0.12倍です。
実際の回転量はこのページに書いてある回転量を8.3倍して下さい。

(例えば”20回転/秒”とあったら、これは”166回転/秒”と言うように読み変えてください)

目次

  1. 目的
  2. 結論
  3. 設定した条件
  4. 実測データとの比較
  5. BB弾の様々な軌道
  6. 「良い軌道」の詳細なデータ
  7. 動画と静止画
  8. 「良い軌道」へ調節するには
  9. 温度の違いについて
  10. 僕が実際に試した時の報告
  11. お礼
  12. アイディア募集
  13. 参考文献

弾道計算に関するその他ページ
弾道計算(BB弾)の理論
BB弾の回転量について(実験との比較)
弾道計算(BB弾)の結果←今ここ
弾道計算の結果2, 比較と詳細データ
弾道計算(BB弾)のコード(fortran90)
バレル内部でのBB弾の方程式
水中下でのBB弾の弾道計算

目的


屋外で行われるサバイバルゲームで優位に立つために、BB弾は重い球が良いのか、軽い球が良いのかを数値計算によって,良い軌道を描く弾道の軌道のパラメータを探索して、現実で調節するための方法を模索します。

結論


サバゲーを行うにあたり、風があったり、遠くを狙う必要のある屋外では

BB弾は重い方が良い

という結論が得られました。
BB弾は重ければ重いほどまっすぐ、遠くまで飛ぶ。また、当たった時に判定がされやすい事になります。
屋内などの風が無く、接近戦(30m以内)が主になる場合ではほぼ差は見られないため、お値段的に軽い球を使うのがいいと思います。

重さの違いにありがちな話は本当?


「0.20gのほうが着弾が早い」
   →ほとんど嘘
    初速は確かに0.20gのほうが早いですが、最大でも15mの地点で0.01秒程度の違いしかありません。30m以上では0.25gのほうが早く着弾します。

「0.25gはまっすぐ飛ぶ」
   →本当
    →風の影響を受けにくいため、横にぶれにくいだけでなく、縦にもぶれが少くなります。

「0.20gのほうが遠くに飛ぶ」
   →
    →0.25gのほうが遠くまで飛びます。

「0.25gのほうがヒットを取りやすい」
   →本当
    →弾の持つエネルギーは0.25gの方がどの地点でも大きくなるため、当たった時に判定されやすいことになります。

まとめると、
0.20gが優れているのはコストだけ
ということになります。


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以下、詳細なデータを載せます。

設定した条件


ニュートン力学の範囲内で計算します。
考慮した力と条件は、

  1. 重力
  2. 空気の慣性抵抗力、粘性抵抗力
  3. 回転による揚力(Magnus力)
  4. BB弾の回転の減衰

です。コリオリ力は重力に比べ3桁程度小さい力なので考慮に入れていません。
空気の粘性率は、空気の密度は気温20度、乾燥した空気中のものを使用しています。
僕が調べた範囲で他のページではBB弾の回転の減衰が考慮されていませんでした。本稿ではそれを考慮したことが一つの特徴です。
運動方程式の導出や、理論に関してはこちらの弾道計算(BB弾)の理論をご覧ください。

実測データとの比較


計算が実測のデータと合っているのかをまず初めに検証します。
東京マルイ G36CにおけるノーマルホップとG-HOPの弾道特性実測データと、本稿の数値計算結果との比較を行います。
実験と比較(結果用)_c
ここで数値計算結果(緑線)との比較対象は紫色の点です。
※実測データにおいて、BB弾の回転数は測定されていなかったため、最高到達高さを元に回転数を決定しています。

全体的に非常に良い一致を見せていることが分かるかと思います。50m,60m地点においては10cm程度の差しかないのではないでしょうか。この実測データの再現、という点においては十分に信頼できる数値計算結果になっていると思います。
ただし、打ち出し直後の浮き上がり具合に若干の差があります。
このずれの原因として、実測データの高低さの加味が十分ではない、ということが考えられます。
実測時ではなく、改めて高低差を加味した、と実測データのページにあるので、場所が完全に同じではないかもしれないと考えられます。
風で揺らいでいる、ということは無いでしょう。もしも風で揺らいでいるとしたら、遠くで差が出るはずです。射出直後でこれだけ揺らいで遠くで揺らがないというのは納得ができません。

本稿の数値計算は実測データと十分に一致している、と確認したうえで、いろいろとパラメータを変えて計算してみました。

BB弾の様々な軌道


まず、一番気になるBB弾の軌道を見ます。
エネルギーを0.90Jで固定して、パラメータを様々に変え0.20gと0.25gのBB弾で比較してみます。
その結果がこちらです。黒文字が0.20g, 赤文字が0.25gであることを意味しています。
弾道軌道09J_c
BB弾が描く良い軌道とは

  • まっすぐ飛ぶ
  • 遠くまで飛ぶ

軌道であることだ、と考えます(左右のブレはここでは除きます)。

すなわち「良い軌道」とは上下振れ幅が最小になる軌道のことだと言えるでしょう。
上の画像の例でいうならば
0.20g → BB弾が35回転/sで回転し、下向きに1.2°方向に射出されたとき
0.25g → BB弾が42回転/sで回転し、下向きに1.2°方向に射出されたとき

がそれに近い軌道でしょう。

0.25gでこの「良い軌道」に合わせることができたなら、50m先の敵までは、喉~胸あたりに照準を合わせることで確実にヒットが得られるでしょう。
また、60mの距離を狙いたければ敵の頭の1.26m上を狙うことで一応届きます。

もう少し、この「良い軌道」について調べてみましょう。

「良い軌道」の詳細なデータ


ここでは、重さの違う0.20gと0.25gとを比較するために、ゼロインを50[m]に合わせ、上下方向の振れ幅が最小になる時で比較します。

弾道詳細_ゼロイン50m2_c
ゼロインを50mに合わせた時、0.20gでは60cmの振れ幅、0.25gでは40cm程度の振れ幅になります。
0.20gよりも0.25gの方が小さい振れ幅です。予想通りといえば予想通りの結果ですね。

次に着弾時刻を見てみましょう。30m地点までは0.20gの方が若干早く着弾し、それ以降は0.25gのほうが早く着弾します。50mの遠距離で比較しますと、0.20gと0.25gとの着弾時刻の差は約0.13秒。まばたき程度の差があります。
ちなみに15mでの着弾の時間差は0.01秒です。とても微々たるもので、この差は認識できないと思われます。よって着弾時刻も上下の振れ幅も少ない、遠距離にも対応できる0.25gを使うのがいいでしょう。

また、エネルギーは発射した瞬間から着弾するまで、どこでも0.25gの方が高いため、遠くでも判定がされやすいことになります。

遠距離を狙いたい場合は着弾速度、上下振れ幅に影響するだけでなく、判定もされやすい重い球を使いましょう。


2016/03/13
計算コードを変更し、動画化しました。点の間隔は0.04秒で、gifアニメの速度の時間間隔と実際の時間間隔は同じにしてあります(すなわち、gifアニメの1秒と現実の1秒が同じ)。
bullet_orbit
こちらは静止画。
orbit_st_c

ゼロイン距離と上下方向振れ幅との関係


さて、上下方向の振れ幅を最小限に抑えながらゼロインを適当な位置に合わせたい場合について考えます。
遠くにゼロインを合わせたい時、飛ばせばと飛ばすほどホップを強くかけなければなりません。その結果、上にも下にもブレることになります。
この関係性がどうなっているかを調べますと、以下のようになります。
zeroin_width2_c

エネルギー0.9Jの場合で、上下の振れ幅を最小に抑えるパラメータで考えますと、段々と上下方向の振れ幅が大きくなっていることがわかります。
これは空気抵抗によって弾速が減少するためにその分、ホップによって時間を稼がなければならないことに由来します。
例えば、
0.20gのBB弾で50mにゼロインを合わせた時は上下振れ幅が60cm(射出位置から30cm下がり、ホップによって射出位置から30cm上昇し、ゼロインを迎える)ですし、
0.25gのBB弾で50mにゼロインを合わせた時は上下振れ幅が40cm(射出位置から20cm下がり、ホップによって射出位置から20cm上昇し、ゼロインを迎える)です。
この重さの違いによる上下方向の振れ幅は顕著に表れます
60mなんかにゼロインを合わせようとすると、0.20gでは上下方向に1.6mずれることになり、0.25gでは上下方向に1mずれることになります。
もしかしたら、0.20gで60mに合わせた場合、フィールドで立って撃たない限り、先に地面についてしまってダメになるでしょう。

これらから、遠距離ではますます重いBB弾を使ったほうが良いという結果が得られるわけです。

※ただし、中距離に当てるつもりがない場合はホップをある程度かけて上向きに射出したほうがいいでしょう。

「良い軌道」へ調節するには


さて、サバゲーに行き、シューティングレンジで調節をすることを考えます。
BB弾の回転数など知っているわけがありません。また、角度1.2°などそんなこと分かるわけがありません。
さらに、BB弾がどこまで飛んだかは大抵の場合は10m単位でしか分かるはずがないのです。
せめてジュール数(弾速)は知っているとします。この状況で良い軌道へ調節することを考えましょう。

0.25g, 0.9J(初速84.85m/s)の場合

ここでは、0.25g, 0.9J(初速84.85[m/s])の場合を考えます。

50mにゼロインを合わせることを考えます。
調節方法_c

この場合の手順は、
手順1,    射出する銃口の高さ50m地点にある同じ高さにある的に照準を合わせる。

手順2,    ホップ無しで、50m先の的に照準に合わせたままBB弾が地面に落ちた時の位置が、おおよそ
    \(10\times(\mbox{射出高さ[m]}) +10[\mathrm{m}]\)
    になるように調節する。

手順3,    その照準に合わせたまま、徐々にホップを掛けていき、50[m]の的に当たるまでホップを掛けて調節する。

です。

詳しく説明すると、
手順1では角度を決めるための基準点を探しています。
手順2では角度をホップ無しの場合で、到達距離を見ることによって決定します。何点か計算したら、射出する高さと良い角度の時の落下地点は、\(10\times(\mbox{射出高さ[m]}) +10[\mathrm{m}]\)という関係でした。
なので、地面からの銃口の位置が分かれば、良い角度での射出は、到達距離を見れば分かるのです。
※空気抵抗のない場合、\((\mbox{落下距離})\propto \sqrt{射出高さ}\)になります。ただし、短い区間であれば線形補間で良いでしょう。ちゃんと線形補間すると、\(10.40\times(\mbox{射出高さ}[\mathrm{m}])+9.87[\mathrm{m}]\)となるのですが、実用上は簡単な\(10\times(\mbox{射出高さ[m]}) +10[\mathrm{m}]\)で十分でしょう。

手順3では、その照準のまま、だんだんホップを掛けていき、50mに合わせればいいのです。

0.20g, 0.533J(初速73m/s)の場合

もう一つ具体例、0.20g, 73m/sの場合を考えます。
これは、僕が持っている電動のmp7a1のなにもカスタムしていない時の値です。
調節方法m0200533J_c
50mに合わせると上に40cm、下に40cmも上下するので、無理に狙わず、40mで合わせています。
(※上のグラフとはエネルギーが異なるため、”ゼロイン距離と上下方向振れ幅との関係”で紹介したグラフとは上下振れ幅が異なっています。)
この時のパラメータは、エネルギー0.533J, 下向きに角度1.81度、回転数42回転/sです。
mp7a1はこちら。

2丁持っている場合


2丁銃を持っている場合、精密射撃用と遠距離用と分けることができます。
30m内では上下方向のブレが6cm程度になるので、近接用と割り切りってしまい、
遠距離では上のパラメータで調節しておけば、どんな距離でも気持ち良く狙えます。
例えば、基本的に上のパラメータで調節した銃を使っておき、相手が隠れた時など、壁の小さい隙間を狙って近距離用で精密射撃を行う、なんてことができるかと思います。

温度の違いについて


夏場と冬場ではどのくらい弾道が変わるのでしょうか?
0.28g, 0.9Jで、温度10℃、20℃、30℃で撃った時の軌道の違いを考えます。
紫が10℃、緑が20℃、青が30℃です。
基準は20℃です。20℃でゼロイン50mの時の最小の振れ幅に合わせた時に他の温度ではどうなるかを考えます。
弾道の温度依存性_c
結論として、10℃変わるごとに約1m飛距離が変わります。
なので夏場の方が冬場よりも2m程度よく飛ぶことになります。

僕が実際に試した時の感想


2015年12月、内部をカスタムしていないmp7a1でopsに行き、実際に撃ってきて理論通りの軌道になるだろうか、と試してきました。
レーザーサイト、その他もろもろは持っていないので考察ではなく、感想としてみてください。
僕個人の感想をまとめると、

  • 0.25gと0.20gの差は明らかに感じられる。特に集弾性が素晴らしい。
  • 最小の振れ幅になる軌道は確かにその通りになるが、少なくとも起伏の激しいフィールドでは使いにくい。

でした。
0.20gと0.25gの差は明らかだと感じました。軌道に対しては体感では少しだけ分かる程度でしたが、集弾性がとにかくいいのです。着弾点でばらけることがほぼ無いのです。実際にどの程度影響していたか分かりませんが、0.20gから0.25gに変えた時、キル数が上がりました。
とても気持ちよく戦えるので、初心者の方を誘ったりする際は是非0.25gを使わせて、サバゲーマーの仲間入りをさせてください。

一度下がってから上がる、これは理論上では一番良い軌道であることは確かなのですが、起伏の激しいフィールドでは、この”一度下がる”が非常に厄介です。一度下がるため、そこに障害物(例えば斜面等越しに当てるとき)があったら当たらないのです。少し上向きに撃とうものなら強ホップのため、敵の頭上を通り越します。
結果、敵から反撃を受け、こちらからは当てられない状況が生まれました。
起伏の激しいフィールドでは、30~35m程度まで数cmの振れ幅でまっすぐに進む軌道が一番良いと思います。
それよりも遠い場合は山なりに何発か撃てばいいので、非常に適していると感じました。

今度は平坦なフィールドで試してみたいと思います。

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お礼


@hthsi アイディア提供。実際にサバゲーをやっている上で気になること、○○の違いが知りたい!といったアイディアを弾道計算を行う初期の頃からいっぱいいただきました。重さの違いにありがちな話はほんと?の部分があるといいよね、等の分かりやすい説明は@hthsiの提案です。ありがとうございます!
また、サバゲーるにて告知をしていただきました。
0.25g弾の優位性について

募集


2015/07/06
現在も計算を行い、まとめている最中です。気になること、面白いアイディア、計算に関する質問等がありましたらコメントでもtwitter(@sig_colon)でも、メールでも構いませんのでお知らせください。
計算するまでもない質問の場合はコメントで返信、特に面白そうな場合は、綺麗にまとめて本稿に追加いたします。

2016/02/07
Tech Report  ハイスピードカメラによるエアソフトガンの考察
より、ガスガンと電動ガンの銃口付近での空気の流れが見て取れます。
非常に素晴らしく、実際の状況なので信頼できます。15000fpsの高速度カメラだそうです。

ひとつ、気になるのは報告されているBB弾の回転数が私の導き出した値と2倍近く違うことです。
回転数が違うことによって、数値計算結果の回転数以外に影響はありません。ただのホップの強さの目安と見ているので、もしも間違いがあったとしてもホップの強さと回転数との換算が違うだけです。結果には影響しません。
管理人様にお尋ねしたところ、回転数は管理人様自身が導き出したものではなく、考察程度としてみるのがよい、と返答いただきました。残念ながら確証が取れないので回転数の議論はどなたかやっていただけるまで待つことにします。
動画があり、非常に説得力のあるサイトなので、是非ともご覧いただくことをお勧めします。

参考文献


東京マルイ G36CにおけるノーマルホップとG-HOPの弾道特性

2016/03/22 追)
ガンジニア様のハイスピードカメラによる映像


より、本サイト内で表記している回転数にミスがある疑いが濃厚になってきました。
サイト内に「○○回転している」や「○○回転/s」と言う表記があるのはたぶんです。
これから検証していきますのでお待ちください。

2016/07/09追)この問題は解決しました。詳細はBB弾の回転量について(実験との比較)をご覧ください。

コメント返信用、画像

2015/07/27
>ウエダさん宛て
縦軸:高さ[m]
横軸:到達距離[m]
ウエダさんパラメータ_c

サバゲーフィールドの情報

サバゲーに行った時にメモした内容と知りたいことです。
日付に注意してください。
そして、刻々と変わるはずなので、参考程度にとどめてください。

  • 場所: OPS http://svg-ops.jp/index.html

  • 住所 東京都稲城市坂浜734、(新ゆり天望の丘墓苑の少し先)
    2015/03/31(火) に参加した時の情報

    最寄り駅から到着まで

    新百合ヶ丘駅からはOPSのHPに記載があります。
    京王よみうりランド駅からフィールドまでタクシーで1520円
    ※八幸タクシー使用(0120086850)。電話番号はタクシー乗り場に記載有。

    平日の火曜日、午前8時20分頃に電話しても大体『出払っている』と言われます。(2回中2回、ほかのタクシー会社も同様)
    15~20分程度待っていればタクシーは来ます。
    8時35分頃に駅でタクシーがつかまり、8時50分くらいにはフィールドに到着したと思います。

    到着時

    到着時に参加費を払う。平日だったので場所代は2500円。
    お昼ご飯4種類の中から1つ選ぶ。任意で500円。

    参加人数とゲームの種類

    参加人数 60人位(かなり少なめ。いつもだいたい100~200人はいるようです。)
    定例会ゲーム数 10~14戦 程度
    チーム分けは朝礼時に真ん中ここら辺、として右半分、左半分で分けられました。

    ナイフキルなし、フリーズコールなし、フレンドリーファイアは謝ったうえで当てられた側、当てた側どちらもヒット判定
    ショートフラッグ戦 10分
    フラッグ戦 15分
    ※この日、やったゲームはこの2種類でしたが、10種類以上のゲームパターンが用意されていました。おそらくこの日は人数が少なかったためだと思われます。

    終わりに

    ※ちなみに、帰りに京王よみうりランドまで乗合したいと思い参加者に尋ねましたが、誰もいませんでした。みなさん新百合ヶ丘駅へ行った模様です。
    京王よみうりランド駅近くの飲食店は絶望的に少ない

    費用

    銃を借りないで1人で行く場合
    タクシー 行き1430~1520円、帰り1430~1520+300(送迎)円
    場所代 2500円
    お昼代 500円
    計 6340円程度


弾道計算(BB弾)の理論

エアガンから発射したBB弾がどのように飛んでいくか?
BB弾の弾道計算理論パートです。

完全な計算のためには圧縮ナビエ・ストークス方程式を解いて…ということをしなければなりませんが、そこまでは考えません。
射出後のBB弾がどのような軌道を描き進むのか、ニュートンの運動方程式の範囲で考えていき,定量的な一致を目標にしていきます。

結果として得られる2つの運動方程式は以下の2つです。
・BB弾の運動方程式
\(
\displaystyle m\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}=
-mg\vec{k}+\left\{-6\pi \eta R |\vec{V}|-\frac{1}{2}C_d \rho \pi R^2 |\vec{V}|^2\right\}\frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}
-C_l \frac{4}{3}\pi R^3 2\rho |\vec{\omega}| |\vec{V}|\frac{\vec{V}\times\vec{\omega}}{|\vec{V}\times\vec{\omega}|}
\)

・BB弾の回転角速度の減衰を記述する方程式
\(
\begin{align}
\frac{d\omega_z}{dt}&=N_z/I \\
N_z&=\frac{\rho C_f}{2}R^3\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\theta |u\sin\varphi-R\omega\sin\theta|(u\sin\varphi-R\omega\sin\theta)\sin^2\theta
\end{align}
\)

の二つにより構成されます。

実験データから、\(C_l=0.12\)で良く記述できることが分かりました。
詳細はBB弾の回転量について(実験との比較)をご覧ください。

結論を言うと、サバゲーで勝ちたければ、重いBB弾を使うべきです。
飛距離を伸ばすためには
BB弾の重さ、銃口から出てくるときの初速回転数以外に飛距離を伸ばすことに関係する変数はありません。
0.20,0.25gの違いと回転減衰
※初速と共に載せました。この初速の値は実験データがあるサイトと同じ値にしています。

目次

  1. 先行研究の紹介
  2. BB弾に働く力
  3. BB弾の運動方程式
  4. 結果
  5. 流体中に置かれた球体の回転の減衰
  6. 参考文献

弾道計算に関するその他ページ
弾道計算(BB弾)の理論←今ここ
BB弾の回転量について(実験との比較)
弾道計算(BB弾)の結果
弾道計算の結果2, 比較と詳細データ
弾道計算(BB弾)のコード(fortran90)
バレル内部でのBB弾の方程式
水中下でのBB弾の弾道計算

先行研究の紹介


誰かやっているかなーっと調べてみると、やっぱりやってる人がいました。

解析解(慣性抵抗とマグヌス力を考慮?)を用いての、定性的な一致に終わっています。
BB弾の弾道計算まとめ -チン太さんのノート(2013年)
(※2016/01/16 正しさの確認がとれないので一応の解析解、ということにしておきます。なぜなら、2次元の空気抵抗を考慮した微分方程式でさえ解析解が存在しないはずだからです[12]。)

本稿では可能な限りの影響を考慮し、定量的に一致させることを目標にしていきます。

BB弾に働く力


質量mのBB弾の場合、運動方程式は言葉で書けば、
\(
\displaystyle m\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}=(\mbox{重力})+(\mbox{風の抵抗力})+(\mbox{回転による揚力})
\)

で十分だと思います。
コリオリ力は今の場合、重力に比べて3桁程度小さい力であるため考慮に入れる必要はないでしょう。
また、角速度ベクトルの歳差運動はあるかもしれませんが、見積もる方法が分からなかったため考慮していません。

追記)
各々の力の大きさを簡単に計算してみました。BB弾の速さを100m/s, 重さ0.2g, 166回転/sと仮定

重力: \(1.96\times 10^{-3}\)
粘性抵抗力: \(1.03\times 10^{-4}\)
慣性抵抗力: \(8.52\times 10^{-2}\)
Magnus力: \(1.71\times 10^{-3}\)
コリオリ力(最大): \(2m|\vec{\omega_{earth}}||\vec{v}|=2.8\times 10^{-6}\)

であるため、コリオリ力はほとんど無視できるんじゃないでしょうか。

重力\(F_g\)


場所による重力加速度の違いはあるかもしれませんが、無視できるでしょう。
なので重力\(F_g\)の大きさは
\(F_g=mg\)
でしょう。ここで

  • \(m\ \mathrm{[kg]}\) : 物体の質量
  • \(g\ \mathrm{[m\cdot s^{-2}]}\) : 重力加速度

です。

風の抵抗力\(F_d\)


空気抵抗と呼ばれているものです。
空気抵抗を計算するには物体の形状が分からなければ求めることはできません。
速度に比例する項は理論的に求めることができますが、速度の2乗に比例する空気抵抗の係数(抗力係数)はレイノルズ数の関数となります。

ここでは、半径\(R\)の完全な球体に働く空気抵抗を求め、それを導出、計算します。

風(流体)の抵抗力の大きさ\(F_d\)は一般には次元解析により
\(
\displaystyle F_d=\frac{\eta^2}{\rho}\sum_{n=1}^{\infty}K_n \left(\frac{v \rho L}{\eta}\right)^n
\)

として与えられます[1]。ここで

  • \(\eta\ \mathrm{[kg \cdot m^{-1}\cdot s^{-1}]}\) : 流体の粘性率(Viscosity) ※動粘度ではないです。
  • \(\rho\ \mathrm{[kg \cdot m^{-3}]}\) : 流体の密度
  • \(v\ \mathrm{[m\cdot s^{-1}]}\) : 物体の速度の大きさ
  • \(L\ \mathrm{[m]}\) : 物体の大きさ(半径\(R\)の球の場合、\(L\)は直径\(L=2R\)に相当する量)
  • \(\frac{v \rho L}{\eta}\) : レイノルズ数(\(R_e\),Reynolds number)と呼ばれる無次元量

です。次元解析から具体的な定数の値\(K_n\)を求めることはできません。
通常の場合は\(n=1\)(粘性抵抗)と\(n=2\)(慣性抵抗)のみ考慮されます。
速度の3乗以上に比例する項というのは見かけません。
おそらく、これから説明する抗力係数\(C_d\)にその効果を全部押し込めているためでしょう。

上の式の\(n=1,n=2\)をそのまま書き下すと
\(F_d=K_1\eta L v +K_2\rho L^2 v^2\)
となりますが、慣例として同じ次元を持つように式を変形させて
\(F_d=C_1 L\eta v +C_d S \left(\frac{1}{2}\rho v^2\right)\)
の形で記述されます。ここでSは速度に垂直な、物体の断面積です。

\(C_1\)は物体が完全な球で、小さく、その速度がゆっくりである場合(レイノルズ数が2以下くらい)、流体の運動を記述する方程式、
ストークス方程式(Stokes’ law、ナビエ・ストークス方程式のレイノルズ数が小さい極限の方程式)
から導くことができて\(C_1=3\pi\)であることが理論的に導けます。

\(C_d\)は抗力係数(Drag Coefficient)と呼ばれ、
これはレイノルズ数の関数となり、
\(C_d=C_d(R_e)\)
となります。
この抗力係数は非常に厄介らしいです。物体の形状に依存したりするらしく、球の場合でも、どうやら実験的に求められているようです。
Wikipediaの抗力係数のページに若干の記述があります。
球の場合の抗力係数の関数\(C_d(R_e)\)をフィッティングした関数は論文[2]より、
\(
\displaystyle C_d=\frac{24}{R_e}+\frac{2.6\left(\frac{R_e}{5.0}\right)}{1+\left(\frac{R_e}{5.0}\right)^{1.52}}
+ \frac{0.411\left(\frac{R_e}{263000}\right)^{-7.94}}{1+\left(\frac{R_e}{263000}\right)^{-8.00}} + \left(\frac{R_e^{0.80}}{461000}\right)
\)

として書けるそうです。実際にプロットしてみるとこんな感じです。
Cdグラフ
確かに抗力係数のグラフと同じようになります。

よって半径Rの球の場合、風の抵抗力\(F_d\)の大きさは結局、
\(
\begin{align}
F_d &= C_1 L\eta v +C_d S \left(\frac{1}{2}\rho v^2\right) \\
&= 3\pi \cdot 2R\cdot \eta v +\frac{1}{2} C_d \rho \pi R^2 v^2 \\
&= 6\pi R \eta v + \frac{1}{2} C_d \rho \pi R^2 v^2
\end{align}
\)
として与えられます。

※BB弾をエアガンから、無風状態で発射する場合、抵抗は

粘性抵抗力: \(1.03\times 10^{-6}|\vec{v}|\)
慣性抵抗力: \(8.52\times 10^{-6}|\vec{v}|^2\)

となります。\(|\vec{v}|\cong 10\sim 100 \mathrm[m\cdot s^{-1}]\)くらいであるため、粘性抵抗力は慣性抵抗力のおおよそ0.1%位ということになります。

回転による揚力\(F_L\)


回転による揚力の発生はマグヌス効果(Magnus effect)と呼ばれています。
空気力学で、回転する円柱の揚力に関する理論クッタ・ジュコーフスキーの定理(Kutta–Joukowski theorem)によって回転による揚力は記述されます。
発生する揚力\(F_L\)の大きさは
\(
F_L=\rho \Gamma v
\)

と書けます[3]。ここで

  • \(\rho\ \mathrm{[kg \cdot m^{-3}]}\) : 流体の密度
  • \(v\ \mathrm{[m\cdot s^{-1}]}\) : 物体の速度の大きさ
  • \(\Gamma\ \mathrm{[m^2\cdot s^{-1}]}\) : 循環

を意味します。循環\(\Gamma\)は
\(
\displaystyle \Gamma=\oint_s \vec{v}\cdot d\vec{s}
\)

という量です。
ここで、\(\oint\)は球体の外側での閉経路に対する線積分であり、球体そのものの循環ではありません[9]。

私は流体力学は良く知らないで余り突っ込まないでおきますが、簡単に仮定します。
実際に発生する循環\(\Gamma\)を無次元の係数\(C_l\)と球体の循環\(\Gamma^{sp}\)を用いて、
\(
\Gamma=C_l\Gamma^{sp}
\)

で書ける、とします。
(実際には迎え角なども関係するようなのでこれは厳密には正しくはありませんが、定性的に説明するので良いでしょう、という仮定しているだけにすぎません。)

球の循環を考えます。
半径\(R\mathrm{[m]}\)の角速度\(\omega\mathrm{[s^{-1}]}\)を持つ円盤に対して循環\(\Gamma^{ci}\)を計算すると、
\(
\begin{align}
\Gamma^{ci} &= \oint_s \vec{v}\cdot d\vec{s} \\
&= \int_0^{2\pi}R\omega\cdot Rd\theta \\
&= 2\pi R^2 \omega
\end{align}
\)
と計算できます。しかし、これから考えるのは球です。
半径\(r\)の円盤に対して循環は、\(\Gamma^{ci}=\Gamma^{ci}(r)=2\pi r^2 \omega\)と書くことができるので、積分して球の循環\(\Gamma^{sp}\)が求められます。
球に対する循環の計算
図のように考えれば、計算は、
\(
\begin{align}
\Gamma^{sp} &= \int_{-R}^{R} \Gamma(r) dl \\
\end{align}
\)

です。\(l=R\cos\phi, \ \ r=R\sin{\phi}\)の変数変換を行って計算すると、
\(
\begin{align}
\Gamma^{sp} &= \int_{-R}^{R} \Gamma(r) dl \\
&= 2\pi \omega R^3 \int_0^\pi \sin^3\phi d\phi \\
&= \frac{4}{3}\pi R^3 \cdot 2\omega
\end{align}
\)
と求められるため、揚力\(F_L\)は無次元の係数\(C_l\)を用いて
\(
\begin{align}
F_L &= C_l \rho \Gamma^{sp} v \\
&= C_l \frac{4}{3}\pi R^3 2\omega \rho v
\end{align}
\)
と書き表せるとします。

2016/07/09 追)
係数\(C_l\)は実験[11]とその弾道データより、
\(
C_l=0.12
\)

で良く近似される、という事が分かりました。詳しくは
BB弾の回転量について(実験との比較)
をご覧ください。

2016/07/09 追)
このページのここより以降の結果に対しては書いてある回転量に8.3倍してください。そうすると現実での、実際の回転量になります。
(例えば”20回転/秒”とあったら、これは”166回転/秒”と言うように読み変えてください)



BB弾の運動方程式


重力\(F_g\), 空気抵抗\(F_d\)と回転による揚力\(F_L\)を取り入れたBB弾に対する運動方程式は方向も考慮に入れて、
\(
\displaystyle m\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}=
-mg\vec{k}
+\left\{-6\pi \eta R |\vec{v}|-\frac{1}{2}C_d \rho \pi R^2 |\vec{v}|^2\right\}\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}
-C_l\frac{4}{3}\pi R^3 2\rho |\vec{\omega}| |\vec{v}|\frac{\vec{v}\times\vec{\omega}}{|\vec{v}\times\vec{\omega}|}
\)

と書けます。上の式の場合、風速の影響は入っていません。
風速の影響を取り入れるのは風と共に動く座標系で考えてから元の座標系に戻ればいいです。
すなわち、地表に固定した座標に対して風の速度ベクトル(定ベクトル)を\(\vec{u}\), 物体の速度ベクトルを\(\vec{v}(=d\vec{r}/dt)\), とし、
相対的な速度ベクトルを\(\vec{V}=\vec{v}-\vec{u}\)と定義すると、風がある中での運動方程式は、
\(
\displaystyle m\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}=
-mg\vec{k}+\left\{-6\pi \eta R |\vec{V}|-\frac{1}{2}C_d \rho \pi R^2 |\vec{V}|^2\right\}\frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}
-C_l\frac{4}{3}\pi R^3 2\rho |\vec{\omega}| |\vec{V}|\frac{\vec{V}\times\vec{\omega}}{|\vec{V}\times\vec{\omega}|}
\)

と書けます。

それぞれの定数の具体的な値を考えます。

各定数の値
名称 記号 捕捉
重力加速度\(g\) \(9.80665\mathrm{[m\cdot s^{-2}]}\)
空気の粘性率(Viscosity)\(\eta\) \(18.2\times 10^{-6}\mathrm{[kg \cdot m^{-1}\cdot s^{-1}]}\) 空気中20度において。また、粘性率は数十気圧から数気圧の間圧力には依存しません。
が、温度に依存し、ある温度\(T_1[K]\)での粘性率\(\eta_1\)が分かっているならば、
温度\(T_2[K]\)での粘性率\(\eta_2\)はサザランドの定数Cを用いて、
\(
\eta_2=\eta_1 \left(\frac{T_1[K]+C}{T_2[K]+C}\right)\left(\frac{T_2[K]}{T_1[K]}\right)^{3/2}
\)
と記述されます。空気の場合、C=117です[4]。
乾燥した空気の密度\(\rho\) \(1.205\mathrm{[kg \cdot m^{-3}]}\) 乾燥した空気の密度は温度と圧力に依存します。温度\(t[℃]\)、圧力をH[torr]とすると
\(
\rho=\frac{1.293}{1+0.00367t[℃]}\cdot \frac{H[torr]}{760}
\)
です[5]。
BB弾の半径\(R\) \(3.0\times 10^{-3}\mathrm{[m]}\)

数値計算は刻み幅制御ルンゲ・クッタ法を用います。
コードはこちら→弾道計算(BB弾)のコード


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結果


結果をまとめます。
※ここ以降に表示されている回転数に対しては8.3倍してください。

回転数と飛距離依存性

回転数依存性

最終的な到達距離はBB弾の質量にほとんど依存しないことが分かります。
また、BB弾の重さにより同じ回転数ではホップが効きすぎたりということがあるので、重さによる調整は欠かせないですね。

理想的な弾道の軌跡

0.25gの場合、BB弾の回転数25回転くらいが一番よさそうな軌道として考えます。
この時打つ際に若干、下方向に向けて打つことでまっすぐ飛ぶ領域を増やせそうです。どのくらい下向きに打てばいいんでしょうか。その結果がこれです。
下向き射出角度依存性
※追)上で述べた通り、回転数はあてにしないでください。実際の回転数は上の3~4倍したものです。
この結果から、一つの最適な軌道を与えるのは回転数25回転/s, 角度0.2°で射出した時ですね。その時の上下方向のブレは25m位飛んで3cmくらい。
また、一つ言えるのは一番いい軌道は角度\(\theta\)を変化させたときに上下方向のブレが少ないとき、と言えると思います。
なのでこの値が最適ではないです。もう少し調べる必要があるわけですね。ホップアップの回転数に依存して飛距離と角度が決定されています。

BB弾の重さ0.20gと0.25gの違い

速さ,到達距離の時間依存性
回転なし、風なしの場合に到達するまでの時間を見ると30[m]まで0.20gのBB弾のほうが早く到達するようですね。

重さと風の影響

よく飛ぶであろう0.25gは25回転/s, 0.20gは20回転/sとして計算をしています。速度は0.9Jのエネルギーを持つようにしています。
風の影響
0.2gと0.25gの違いと風の影響は余りなさそうな気がします。例えば30[m]地点ではどちらも5[m/s]の風が吹いていたとしても1.0~1.3[m]のずれに収まっています。
この30cmが問題になるのかは…状況次第ですね。

横向きに打ち出した時の曲がり具合

横向き射出2
意外と曲がらないものですね。大体2[m]です。
理由は、この計算では打ち出す時は銃を完全にまっすぐにして固定した状態なのでMagnus力の影響が0から段々と強くなります。
Magnus力の強さは回転軸に垂直の速度成分が速いほど加速度的に増えていくものなので、はじめ銃を曲がる方向に向けて撃てば
曲がる方向の初速度+更なるMagnus力でもっと曲がります。
なので物陰にいる敵を倒す(狙っちゃだめですが)場合は若干敵の方向へ向けて回転による効果を得られるようにしましょう。

銃を逆さまにして上から狙う

上から落として狙う
じゃあ銃を逆さまにして上向きに撃てば障害物の上から狙えるんじゃ・・・?
適正なホップ(m=0.20[g],20回転)の場合、2[m]位の障害物があれば上の黄色Θ=0.64°の軌道でよさそうです。
しかし、障害物を超えて1m落下するのに5[m]位離れてしまいます。なので、敵が障害物から5[m]程度離れている時に撃てば当てられますね。

2015/4/28 追)

実際の弾道のデータとの比較

BB弾の実際の飛距離をデータとして掲載しているページを見つけました。ここです↓
東京マルイ G36CにおけるノーマルホップとG-HOPの弾道特性
測定は大変なものなので緻密なデータとはいきませんが、大体の傾向と、この計算がどのくらいよいものなのか、はわかりそうです。
BB弾の回転数は上のページを参考にし、最大到達点を目安に決定しました。
0.2gのデータは良いデータではなさそうだったのであきらめ、0.25gの結果のみで弾道の軌道を比較しましょう。
数値計算では無風状態でBB弾の重さ0.25g, 初速77.51[m],高さ1.1[m]から射出します。
回転数はおおよそ41回転の時、最高到達点が2.4[m]程度と数値計算によって分かったためそれを使います。その時のデータは以下のようになりました。
実際のデータと比較
比較対象はピンク色の線です。割と良い一致をしています。
原因を考察します。どの程度の統計性があるかは分かりませんが、写真を見る限り、数十発程度の平均値であろうと予想できます。
なので、毎回50m地点で向かい風が吹いて失速し、それが数値計算とのずれだ、などという状況は考えにくそうです。
一番考えられるのはBB弾の回転角速度の減衰でしょう。次の節で取り扱います。

そのほか、この計算に一致しない理由としては、温度による粘性抵抗のずれ、
若干の向かい風がある(計算よりも早くホップにより上昇しているため)、横方向の考慮、測定ミスetc…上げればきりがありません。
しかし、おおよその傾向はグッドです。ホップが効いて下がり始めるまではほとんど同じ軌跡を辿っています。

ちなみに、地面に着弾するまでの時間は計算上では2.27秒でした。

追)2015/05/31

流体中に置かれた球体の回転の減衰

流体中に板を置けば、板は流体から力を受け、引きずられるはずです。
回転をしているのなら、回転方向とは反対の向きに力のモーメントを受け、回転が減衰するはずです。


最終的に、最初に角運動量がz軸方向の成分しかない場合、角速度の時間変化\(\frac{d\omega_z}{dt}\)は、
\(
\begin{align}
\frac{d\omega_z}{dt}&=N_z/I \\
N_z&=\frac{\rho C_f}{2}R^3\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\theta |u\sin\varphi-R\omega\sin\theta|(u\sin\varphi-R\omega\sin\theta)\sin^2\theta
\end{align}
\)
と求められます。(ここで\(I\)は慣性モーメント、\(C_f\)は摩擦抗力係数、\(u\)は物体の、風との相対速度を表します。)
これを計算し、BB弾の角速度に反映させます。

ここから自信が無いので、あっているか、物理の背景が正しいかは保証できません。
まず、回転を記述する運動方程式は、
\(
\displaystyle \frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N}
\)

慣性モーメント\(I\)を用いると、\(\vec{L}=I\vec{\omega}\)であるため、
\(
\begin{align}
I\frac{d\vec{\omega}}{dt}&=\vec{N} \\
I\frac{d^2\vec{\theta}}{dt^2}&=\vec{N}
\end{align}
\)
ここで\(\frac{d\vec{\theta}}{dt}=\vec{\omega}\)と置いています。

求めるべきは右辺の力のモーメント\(\vec{N}\)です。

摩擦抗力\(D_f\)、摩擦抗力係数\(C_f\)というものがありました[6,7,10]。
境界層流れ、という分野に分類されるそうです。
流れている流体に対して摩擦によって平板に生まれる、摩擦抗力\(D_f\)は
\(
\displaystyle D_f=-C_f\frac{\rho U^2}{2}S_{contact}
\)

と記述でき、\(C_f\)は摩擦抗力係数、\(\rho\mathrm{[kg\cdot m^{-3}]}\)は流体の密度、
\(U\mathrm{[m\cdot s^{-1}]}\)は流体との相対速度、\(S_{contact}\)は流体と物体の接触面積を記述しています。
\(C_f\)はレイノルズ数\(R_e\)の関数であり、
層流領域(\(R_e\lt 5\times 10^5 \sim 10^6\))では[10]
\(
\displaystyle C_f=\frac{1.328}{\sqrt{R_e}}
\)
乱流領域(\(5\times 10^{5}\lt R_e \lt 5\times 10^6\))では[6]
\(
\displaystyle C_f=\frac{0.074}{{R_e}^{1/5}}
\)
乱流領域(\(10^{7}\lt R_e\))では[6]
\(
\displaystyle C_f=\frac{0.455}{(\log_{10}{R_e})^{2.58}}
\)

を用いるのが推奨されるようです。
専門家ではないのでこれらの係数の導出等々は知りません。
エアガンの場合、レイノルズ数はおおよそ\(3\times 10^{4}\)程度なので層流領域だと見積もられます。

この摩擦抗力を元に、空気抵抗によって回転が減衰することを調べてみましょう。
ただし、ここでは2つの仮定をします。

  1. 風は角度\(\varphi, (0\le\varphi\lt 2\pi)\)のみに依存する
  2. 位置\(\vec{r}\)で速度\(\vec{v}(\vec{r})\)を持つとき、その微小面積\(\Delta S\)に働く摩擦抗力\(\Delta D_\vec{f}\)を
    \(\displaystyle \Delta D_\vec{f}=-\frac{\rho C_f}{2}|\vec{v}(\vec{r})|^2\frac{\vec{v}(\vec{r})}{|\vec{v}(\vec{r})|}\Delta S\)
    と仮定

これらの仮定の下、話を進めます。
微小区間に働く力のモーメント\(\Delta\vec{N}=\vec{r}\times \Delta\vec{f}\)を考えてから、全空間で積分を行います。
そのために位置\(\vec{r}\)の点における速度\(\vec{v}\)を導出します。
減衰_回転と風_c
摩擦抗力は相対速度\(\vec{v}\)によって記述されると考えられるので、回転によって生じる速度\(\vec{v}_{rot}\)とその地点での風の速度\(\vec{v}_{win}\)を使えば、
\(
\vec{v}=\vec{v}_{win}-\vec{v}_{rot}
\)

と書くことができます。
まず、\(\vec{v}_{rot}\)は、
\(
\vec{v}_{rot}=\vec{r}\times \vec{\omega}
\)

と表現されます。また、\(\vec{v}_{win}\)は、
\(
\vec{v}_{win}=(\vec{u}\cdot \vec{e}_{\varphi})\vec{e}_{\varphi}
\)

であると考えられます(仮定①)。ここで\(\vec{e}_{\varphi}\)は回転方向の単位ベクトルを表します。
よって、位置\(\vec{r}\)の相対速度\(\vec{v}\)は、
\(
\vec{v}=(\vec{u}\cdot \vec{e}_{\varphi})\vec{e}_{\varphi}-(\vec{r}\times \vec{\omega})
\)

となります。
微小区間に働く力のモーメント\(\Delta\vec{N}\)は、
\(
\begin{align}
\Delta\vec{N}&=\vec{r}\times \Delta\vec{f} \\
&=-\vec{r}\times\left(\frac{\rho C_f}{2}|\vec{v}|^2\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\Delta S\right) \\
&=-\frac{\rho C_f}{2}|\vec{v}|(\vec{r}\times\vec{v})\Delta S
\end{align}
\)
と書かれます(仮定②を使用)。
今、3次元極座標を考えて積分すると位置\(R\)での微小面積はヤコビアンより、\(R^2\sin(\theta)d\varphi d\theta\)なので、
(動径方向は\(r=R\)のみ)、
\(
\displaystyle \vec{N}=-\frac{\rho C_f}{2}R^2 \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\theta |\vec{v}|\cdot(\vec{r}\times\vec{v}) \sin{\theta}
\)

と表せます。
あとはこれを解いて剛体の運動方程式に当てはめれば、回転の減衰が表せます。


具体的な形を当てはめていきましょう。
半径\(R\)の球体に対して、3次元極座標で考えます。すると、位置\(\vec{r}\)は、
\(
\vec{r}=
\left( \begin{array}{c}
R\sin\theta \cos\varphi \\
R\sin\theta \sin\varphi \\
R\cos\theta
\end{array} \right)
\)
であり、回転方向の単位ベクトル\(\vec{e}_{\varphi}\)は、
\(
\vec{e}_{\varphi}=
\left( \begin{array}{c}
-\sin\varphi \\
\cos\varphi \\
0
\end{array} \right)
\)
です。
回転角速度\(\vec{\omega}=(0,0,\omega)\)、風の方向\(\vec{u}=(u,0,0)\)
であると考えれば、
\(
\vec{r}\times \vec{\omega}=
\left( \begin{array}{c}
R\omega \sin\theta\sin\varphi \\
-R\omega \sin\theta\cos\varphi \\
0
\end{array} \right)
\)
であり、
\(
(\vec{u}\cdot \vec{e}_{\varphi})\vec{e}_{\varphi}=
\left( \begin{array}{c}
u \sin\varphi\sin\varphi \\
-u \sin\varphi\cos\varphi \\
0
\end{array} \right)
\)
となります。よって、相対速度\(\vec{v}\)は
\(
\vec{v}=(\vec{u}\cdot \vec{e}_{\varphi})\vec{e}_{\varphi}-(\vec{r}\times \vec{\omega})=
\left( \begin{array}{c}
(u\sin\varphi-R\omega\sin\theta)\sin\varphi \\
-(u\sin\varphi-R\omega\sin\theta)\cos\varphi \\
0
\end{array} \right)
\)
と計算できます。
故に、\(\vec{r}\times\vec{v}\)は、
\(
\vec{r}\times\vec{v}=
\left( \begin{array}{c}
R\cos\theta(u\sin\varphi-R\omega\sin\theta)\cos\varphi \\
R\cos\theta(u\sin\varphi-R\omega\sin\theta)\sin\varphi \\
-R\sin\theta(u\sin\varphi-R\omega\sin\theta)
\end{array} \right)
\)
です。
具体的に、球体に働く力のモーメント\(\vec{N}\)を求めるためにやらなければならない積分は、
\(
\displaystyle \vec{N}=-\frac{\rho C_f}{2}R^2\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\theta|\vec{v}|(\vec{r}\times\vec{v})\sin\theta \\
\displaystyle =-\frac{\rho C_f}{2}R^2
\left( \begin{array}{c}
R\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\theta |u\sin\varphi-R\omega\sin\theta|(u\sin\varphi-R\omega\sin\theta)\sin\theta\cos\theta\cos\varphi \\
R\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\theta |u\sin\varphi-R\omega\sin\theta|(u\sin\varphi-R\omega\sin\theta)\sin\theta\cos\theta\sin\varphi \\
-R\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\theta |u\sin\varphi-R\omega\sin\theta|(u\sin\varphi-R\omega\sin\theta)\sin^2\theta
\end{array} \right)
\)
です。まず絶対値の符号を取るために場合分けを行います。
\(
|u\sin\varphi-R\omega\sin\theta| \\
=|R\omega|\cdot|\frac{u}{R\omega}\sin{\varphi}-\sin\theta|
\)
は、\(\frac{u}{R\omega}\sin{\varphi}\)に関して3つの領域に分けられます。

  1. \(\displaystyle \frac{u}{R\omega}\sin{\varphi}\le 0\)の領域
  2. \(\displaystyle 0\lt \frac{u}{R\omega}\sin{\varphi}\lt 1\)の領域
  3. \(\displaystyle 1\le \frac{u}{R\omega}\sin{\varphi}\)の領域

です。

\(0\lt \frac{u}{R\omega}\sin{\varphi}\lt 1\)が厄介なので特に考えましょう。
\(|\vec{v}|=|u\sin\varphi-R\omega\sin\theta|\)に対して、図のように考えます。
場合分け

例えば力のモーメントのx成分の積分は
場合分け_積分
となります。

こう表したのですが、x,y成分の被積分関数は\(\pi/2\)を中心に奇関数です。z成分だけは\(\pi/2\)を中心に偶関数となります。
なのでx,y成分は計算するまでもなくゼロになり、z成分だけ残ります。
これはもともとの回転角速度\(\omega\)がz成分しか持っていないから、という概要に合っています。

z成分の\(\theta\)に関する積分までは求めました。
シータ方向z成分_c
となります。
この後更に\(\varphi\)でこれを積分するのですが、僕はできませんでした。多分楕円積分に近いものが必要になるかと式の形から思われます。
\(\varphi\)方向に関しては数値計算でやってしまおうと思います。

2016/08/07追)
上記積分を近似して簡略化します。
回転している球体を上半分と下半分に分けて、球体を2つの平面に近似してしまいます。
上半分の速度\(v_{up}\)(風のベクトルと球体の回転方向が一致)と下半分の速度\(v_{down}\)(風のベクトルと球体の回転方向が反対方向)はそれぞれ
\(
\begin{align}
v_{up}&=u\sin_{\varphi_c}-R\omega\sin_{\theta_c} \\
v_{down}&=-u\sin_{\varphi_c}-R\omega\sin_{\theta_c}
\end{align}
\)
と書けます。ここで、\(\varphi_c,\theta_c\)は球を近似するに最適なある特定の角度を表します。
すると、近似した力のモーメントは
\(
\displaystyle N=\frac{\rho C_f}{2}R\frac{4\pi R^2}{2}\left(|v_{up}|v_{up}+|v_{down}|v_{down}\right)
\)

と導くことが出来ます。

実際の弾道のデータとの比較(回転の減衰考慮)


2015/06/07追記)
数値計算によって\(\varphi\)方向の数値計算を行い、比較してみます。
減衰ありの場合で実験と比較_c
回転数は、最大到達高さからおおよその値を導いています。
回転の減衰を考慮に入れた計算結果は緑の線です。
素晴らしいですね。最高です!
回転の減衰によってMagnus力が減少し、到達距離が短くなっています。
以前の計算結果である赤線の時に問題になった、最後のあたりのBB弾の伸びが違う、といった辺りがちゃんと改善されました。


0.20,0.25gの違いと回転減衰
なぜ質量が軽いほうが回転の減衰が早いのか?
今回の回転の減衰の導出では、表面積によってのみ、回転の減衰を引き起こす力のモーメントが変化します。なので、質量が重ければ思いほど、その分慣性モーメント\(I\)が大きいことになり、回転量は変化しにくいことになります。

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ちなみに、Magnus力のする仕事はゼロです。
なぜなら、Magnus力の働く方向は粒子の速度に垂直なはずで、方向は\(\vec{v}\times \vec{\omega}\)です。
その仕事は、係数を無視して、
\(
\begin{align}
&\int_{\vec{r}_{(t)}}^{\vec{r}_{(t+\Delta t)}}(\vec{v}\times\vec{\omega})\cdot d\vec{r} \\
&=\int_t^{t+\Delta t} (\vec{v}\times\vec{\omega})\cdot \vec{v} dt \\
&=\int_t^{t+\Delta t} 0{dt}
&=0
\end{align}
\)
となるからです。
・・・ということは、Magnus力が仕事をすることはあり得ません。

fortran90によるコードはこちらへ↓
弾道計算(BB弾)のコード

参考文献


[1]伊東敏雄著『な~るほど!の力学』学術図書出版社 (1994) p.220
[2]Faith A. Morrison, “Data Correlation for Drag Coefficient for Sphere,” Department of Chemical Engineering, Michigan Technological University, Houghton, MI (2015/02/08 アクセス確認)
[3]NASA, Ideal Lift of a Spinning Ball(2015/02/08 アクセス確認)
[4]国立天文台編『理科年表 平成21年 第82冊』丸善株式会社 (2009) p.378
[5]国立天文台編『理科年表 平成21年 第82冊』丸善株式会社 (2009) p.376

[6]第9章 境界層と物体まわりの流れ
[7]Skin friction drag

[8]流体力学講話・つまみ食い(その5)

[9]鳴尾 丈司, 溝田 武人, 下園 仁志, “一様気流中で高速回転するゴルフボールの空気力測定と飛しょう実験” 日本機械学会論文集 B編 Vol. 70 (2004) No. 697 P 2371-2377

[10]第3章 境界層理論, 3.5.4摩擦抵抗係数 \(C_{D_f}\)

[11]石岡、ホップアップの回転数測定 TM VSR-10 G-SPEC

[12]放物運動 -初等力学の未解決問題:速度の2乗に比例する空気抵抗を持つ放物運動