二準位系と周期的な摂動 #
本内容は、主にB. H. BransdenとC. J. Joachainによる著書 Physics of Atoms and Molecules (2nd Edition) の第2章8項 “Approximation method” に基づきます1。
1. 問題設定 #
時間依存するシュレーディンガー方程式
iℏ∂∂t|Ψ⟩=ˆH(t)|Ψ⟩
を考えます。ここで、ˆHは非摂動ハミルトニアンˆH0と摂動ハミルトニアンˆH′(t)を用いて次のように展開されているとします。
ˆH(t)=ˆH0+ˆH′(t)
ここで、ˆH0は二準位系、つまり固有状態が二つしか存在しない系を考えます。 また、ˆH0に対応するシュレーディンガー方程式は既に解けているとして、その固有エネルギー・固有状態は下記の式を満たします。
ˆH0|b⟩=Eb|b⟩ˆH0|a⟩=Ea|a⟩
ここで、2つの固有エネルギーEa,EbはEb>Eaを満たすように決めます。
今、時間に周期的な摂動を式(5)のように定義します。
ˆH′(t)=ˆAeiωt+ˆA†e−iωt
ここで、ˆAは時間依存しない演算子で、ˆA†はそのエルミート共役を意味します。 式(5)のようにˆH′を構成すると、ˆH′はエルミート演算子になるので下記のようになります。
ˆH′(t)=ˆH′†(t)
2. 解法 #
2.1. 固有状態の線形結合 #
今、二準位系に対する摂動(6)を考えているので、波動関数はˆH0の2つの固有状態の線形結合で記述できるため、
|Ψ(t)⟩=ca(t)|a⟩e−iEat/ℏ+cb(t)|b⟩e−iEbt/ℏ
と展開します。式(1)に式(2), (7)代入すると未知の係数ca,cbについて
{iℏ˙ca(t)=[Aaaeiωt+A†aae−iωt]ca(t)+[AabeiΔωt+A†abe−i(ω+ωba)t]cb(t)iℏ˙cb(t)=[Abaei(ω+ωba)t+A†bae−iΔωt]ca(t)+[Abbeiωt+A†bbe−iωt]cb(t)
を得ます。ここで、
ωba=(Eb−Ea)/ℏ, Δω=ω−ωba,Aba=⟨b|ˆA|a⟩, A†ba=A∗ab
と置きました。微分方程式(8)を解くにあたっては、初期条件
ca(t≤0)=1, cb(t≤0)=0
として、t=0以前には状態|a⟩にだけ存在するとします。
2.2. 回転波近似 #
面白い現象が起こるのは、周期的な摂動の角周波数が、二準位間のエネルギー差に相当する角周波数に近い場合と考えて式(8)を解いていきます。 つまり、Δω≪ωを考えます。
今、係数ca,cbの変化は式(8)の右辺によって記述されています。微分方程式を解く場合、式(8)の右辺を時間について積分するわけですが、 長い時間スケールで見ると高速に振動する項の積分はほとんどゼロになり、結果には影響しません。そのため、高速に振動する項を無視する近似(回転波近似)を行います。
つまり、eiΔωtはe±i(ω+ωba)t,e±iωt,e±iωbatよりもゆっくり振動するのでこの項だけを残します。 すると
{iℏ˙ca(t)≈AabeiΔωtcb(t)iℏ˙cb(t)≈A†bae−iΔωtca(t)
となります。式(12)は厳密に解くことが出来て、
{ca(t)=eiΔωt/2[cos(ωR2t)−i(ΔωωR)sin(ωR2t)]cb(t)=2A†baiℏωRe−iΔωt/2sin(ωR2t)
となります。ここで
ωR=[Δω2+4|A†ba|2ℏ2]1/2
は Rabi flopping frequency (日本語ではラビ振動周波数又はラビ振動角周波数)と呼ばれます。
状態|a⟩, |b⟩の存在確率密度は
{|ca(t)|2=cos2(ωR2t)+(ΔωωR)2sin2(ωR2t)Pba(t)≡|cb(t)|2=4|A†ba|2ℏ2ω2Rsin2(ωR2t)
と書けます。式(15)は回転波近似の下で厳密な解です。
式(15)を見ると、存在確率密度が単振動していますが、その振動周期Tは
T=2πωR
です。
一方、同じ問題を時間依存一次摂動論で導いた結果と比較します。導出過程は省きますが下記の結果を得ます。
P(1)ba(t)=4|A†ba|2ℏ2Δω2sin2(Δω2t)
回転波近似(15)の結果と摂動論の結果(17)を比較すると、下記の2点が分かります。
- Δω≠0かつ|A†ba|2が十分に弱いならば、両者は一致する
- Δ=0の時、摂動論(17)はP(1)ba∝t2となるので、摂動論(17)はほんの少しの時間しか使用できない
参考文献 #
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B. H. Bransden and C. J. Joachain, Physics of Atoms and Molecules (2nd Edition), Addison-Wesley(2003).
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