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二準位系と周期的な摂動

二準位系と周期的な摂動 #

本内容は、主にB. H. BransdenとC. J. Joachainによる著書 Physics of Atoms and Molecules (2nd Edition) の第2章8項 “Approximation method” に基づきます1

1. 問題設定 #

時間依存するシュレーディンガー方程式

it|Ψ=ˆH(t)|Ψ

を考えます。ここで、ˆHは非摂動ハミルトニアンˆH0と摂動ハミルトニアンˆH(t)を用いて次のように展開されているとします。

ˆH(t)=ˆH0+ˆH(t)

ここで、ˆH0は二準位系、つまり固有状態が二つしか存在しない系を考えます。 また、ˆH0に対応するシュレーディンガー方程式は既に解けているとして、その固有エネルギー・固有状態は下記の式を満たします。

ˆH0|b=Eb|bˆH0|a=Ea|a

ここで、2つの固有エネルギーEa,EbEb>Eaを満たすように決めます。

今、時間に周期的な摂動を式(5)のように定義します。

ˆH(t)=ˆAeiωt+ˆAeiωt

ここで、ˆAは時間依存しない演算子で、ˆAはそのエルミート共役を意味します。 式(5)のようにˆHを構成すると、ˆHはエルミート演算子になるので下記のようになります。

ˆH(t)=ˆH(t)

2. 解法 #

2.1. 固有状態の線形結合 #

今、二準位系に対する摂動(6)を考えているので、波動関数はˆH0の2つの固有状態の線形結合で記述できるため、

|Ψ(t)=ca(t)|aeiEat/+cb(t)|beiEbt/

と展開します。式(1)に式(2), (7)代入すると未知の係数ca,cbについて

{i˙ca(t)=[Aaaeiωt+Aaaeiωt]ca(t)+[AabeiΔωt+Aabei(ω+ωba)t]cb(t)i˙cb(t)=[Abaei(ω+ωba)t+AbaeiΔωt]ca(t)+[Abbeiωt+Abbeiωt]cb(t)

を得ます。ここで、

ωba=(EbEa)/,  Δω=ωωba,Aba=b|ˆA|a,  Aba=Aab

と置きました。微分方程式(8)を解くにあたっては、初期条件

ca(t0)=1,  cb(t0)=0

として、t=0以前には状態|aにだけ存在するとします。

2.2. 回転波近似 #

面白い現象が起こるのは、周期的な摂動の角周波数が、二準位間のエネルギー差に相当する角周波数に近い場合と考えて式(8)を解いていきます。 つまり、Δωωを考えます。

今、係数ca,cbの変化は式(8)の右辺によって記述されています。微分方程式を解く場合、式(8)の右辺を時間について積分するわけですが、 長い時間スケールで見ると高速に振動する項の積分はほとんどゼロになり、結果には影響しません。そのため、高速に振動する項を無視する近似(回転波近似)を行います。

つまり、eiΔωte±i(ω+ωba)t,e±iωt,e±iωbatよりもゆっくり振動するのでこの項だけを残します。 すると

{i˙ca(t)AabeiΔωtcb(t)i˙cb(t)AbaeiΔωtca(t)

となります。式(12)は厳密に解くことが出来て、

{ca(t)=eiΔωt/2[cos(ωR2t)i(ΔωωR)sin(ωR2t)]cb(t)=2AbaiωReiΔωt/2sin(ωR2t)

となります。ここで

ωR=[Δω2+4|Aba|22]1/2

は Rabi flopping frequency (日本語ではラビ振動周波数又はラビ振動角周波数)と呼ばれます。

状態|a, |bの存在確率密度は

{|ca(t)|2=cos2(ωR2t)+(ΔωωR)2sin2(ωR2t)Pba(t)|cb(t)|2=4|Aba|22ω2Rsin2(ωR2t)

と書けます。式(15)回転波近似の下で厳密な解です。

(15)を見ると、存在確率密度が単振動していますが、その振動周期T

T=2πωR

です。

一方、同じ問題を時間依存一次摂動論で導いた結果と比較します。導出過程は省きますが下記の結果を得ます。

P(1)ba(t)=4|Aba|22Δω2sin2(Δω2t)

回転波近似(15)の結果と摂動論の結果(17)を比較すると、下記の2点が分かります。

  • Δω0かつ|Aba|2が十分に弱いならば、両者は一致する
  • Δ=0の時、摂動論(17)P(1)bat2となるので、摂動論(17)はほんの少しの時間しか使用できない

参考文献 #


  1. B. H. Bransden and C. J. Joachain, Physics of Atoms and Molecules (2nd Edition), Addison-Wesley(2003).

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    Physics of Atoms and Molecules
    B. H. Bransden and C. J. Joachain, Benjamin Cummings
     ↩︎