Fourier Grid Hamiltonian 法 (2 次元) #

Fourier Grid Hamiltonian method¹ (以降 FGH 法、または省略して FGH) は、離散フーリエ変換のアイデアを 元に設計された時間依存しないシュレーディンガー方程式を高精度に解く数値計算手法です。 位置空間について対角化された基底の線形結合で解を表現することで、少ない基底関数の数で高精度な結果が得られます。

詳細な説明はFGH 法 (Fourier Grid Hamiltonian 法) に示しています。

本稿ではこちらの結果の流用しますので、詳細を知りたい方はそちらをまずご覧ください。

1. 導出 #

1.1. 問題 #

次の 2次元時間依存しないシュレーディンガー方程式を区間$x=[0,L_x]$, $y=[0,L_y]$で、周期境界条件$\psi(x,y)=\psi(x+L_x,y),\hspace{1em}\psi(x,y)=\psi(x,y+L_y)$の下で解くことを考えます。

$$ \begin{align} \hat{H}\psi(x,y)=E\psi(x,y) \end{align} $$

$$ \begin{align} \hat{H} &= -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{d^2}{dx^2}+\frac{d^2}{dy^2}\right)+V(x,y) \label{e1}\\ &\to \frac{\hbar^2}{2m}(\hat{k}_x^2+\hat{k}_y^2) + V(\hat{x},\hat{y}) \label{e2} \end{align} $$

ここで、$\hbar$はプランク定数、$m$は量子の質量、$\hat{p}_x=\hbar \hat{k}_x, \hat{p}_y=\hbar \hat{k}_y$であり、 波数$\hat{k}_x, \hat{k}_y$を位置空間で表現する場合、それぞれ$\hat{k}_x=-i\frac{d}{dx}, \hat{k}_y=-i\frac{d}{dy}$となります。

2. 導出 #

2.1. 位置基底における行列要素の導出（連続） #

ブラケット記法において、位置表示・波数表示を次の通りに決めます。

また、位置表示 ⇔ 波数表示の変換の核は下記の通りに書かれます。

$$ \begin{gather} \label{e3} \langle x|k_x \rangle = e^{ik_x x},\hspace{2em}\langle y|k_y \rangle = e^{ik_y y} \end{gather} $$

また、直交する座標間の表示間変換の核は次の通りです。

$$ \begin{gather} \label{e3a} \langle x|k_y \rangle = \langle y|k_x \rangle = 0 \end{gather} $$

これらを利用します。2 次元の位置の固有状態を直積を用いて$|x’, y’ \rangle (= |x’\rangle|y’\rangle)$ と表現すると、位置の固有状態に対するハミルトニアンの行列要素は次の通りに計算できます。

$$ \begin{align} & \langle x, y|\hat{H}|x’, y’ \rangle \\ &= \langle x|\langle y|\frac{\hbar^2}{2m} (\hat{k}_x^2+\hat{k}_y^2) + V(\hat{x}, \hat{y})|x’\rangle| y’ \rangle \\ &= \frac{\hbar^2}{2m}\left(\langle x| \hat{k}_x^2 |x’\rangle| \delta(y-y’) + \langle y|\hat{k}_y^2 | y’ \rangle\delta(x-x’)\right)+ \langle x|\langle y| V(\hat{x}, \hat{y}) |x’\rangle| y’ \rangle \\ &= \frac{\hbar^2}{2m}\biggl[ \delta(y-y’)\int \frac{dk_x}{2\pi}k_x^2 e^{ik_x(x-x’)} + \delta(x-x’)\int \frac{dk_y}{2\pi}k_y^2 e^{ik_y(y-y’)} \biggr] \nonumber \\ &\hspace{15em}+ V(x,y)\delta(x-x’)\delta(y-y’) \label{e4} \end{align} $$

式\eqref{e4}のそれぞれの項については一次元 FGH と同じなので、離散化の途中は飛ばし、結果を記載します。

$$ \begin{align} & \langle x, y|\hat{H}|x’, y’ \rangle \Delta x\Delta y\nonumber \\ &\to \frac{\hbar^2}{2m}\left[ \delta_{m,m’}\frac{1}{N_x} T^{(2)}_{n-n’,N_x} \left(\frac{2\pi}{L_x}\right)^2 + \delta_{n,n’}\frac{1}{N_y} T^{(2)}_{m-m’,N_y} \left(\frac{2\pi}{L_y}\right)^2 \right] + V(x_n, y_m)\delta_{n,n’}\delta_{m,m’} \end{align} $$

ここで、

$$ \begin{align} T^{(k)}_{n,N}= \left\{ \begin{aligned} S_n^{(k)}&&(\text{if $N$ is even})\\ R_n^{(k)}&&(\text{if $N$ is odd}) \\ \end{aligned} \right. \label{e8x} \end{align} $$

$$ \begin{align} S^{(2)}_{n}&= \left\{ \begin{aligned} &(-1)^n \frac{N}{2}\frac{1}{\sin^2(\pi n/N)}, &&(n\ne 0)\\ &\frac{N}{12}(N^2+2), &&(n=0) \end{aligned} \right. \end{align} $$

$$ \begin{align} R^{(2)}_{n}&= \left\{ \begin{aligned} &(-1)^n \frac{N}{2}\frac{\cos(\pi n/N)}{\sin^2(\pi n/N)}, &&(n\ne 0)\\ &\frac{N}{12}(N^2-1), &&(n=0) \end{aligned} \right. \end{align} $$

です。

FGH 法 (Fourier Grid Hamiltonian 法)と同様に、波動関数と基底関数は次の通り表現しています。

• 波動関数

  $$ \begin{align} \psi(x,y) = \sum_{n_x=0}^{N_x-1}\sum_{n_y=0}^{N_y-1} c_{n_x,n_y} \varphi_{n_x,n_y}(x,y) \end{align} $$

  ここで$c_{n_x,n_y}$は固有ベクトルです。

• 基底関数

  1次元FGH基底関数の直積で、2次元FGH基底関数を表現します。

  $$ \begin{align} \varphi_{n_x,n_y}(x,y)=\varphi_{n_x}(x)\varphi_{n_y}(y) \end{align} $$

  $$ \begin{align} \varphi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{NL}}\sum_{l=0}^{N-1} e^{i 2\pi l(\frac{x}{L} - \frac{n}{N})} \end{align} $$

3. 数値計算ツール #

3.1. python #

Python で書いたプログラムも置いておきます。

fgh2d_v1.0.0.zip

3.2. 出力結果 #

デフォルトでmain.pyを実行すると、次の設定で続く結果を得ます。となります。

• 問題（2次元調和振動子）

$$ \begin{align} \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{d^2}{dx^2}+\frac{d^2}{dy^2}\right)+\frac{1}{2}(x^2+y^2) \end{align} $$

• 計算パラメータ

  • 範囲$x=[-6,6]$, 分点数$N_x=2^5$
  • 範囲$y=[-6,6]$, 分点数$N_y=2^5$

• 計算結果（固有値）

• 計算結果（固有関数）

FGH分点上の値	基底関数による左の画像のUpscaling

4. 参考文献 #