状態の位置・運動量表示 #

本稿では、量子力学で登場する状態の位置・運動量表示について扱います。
本稿のゴールは、

• $\langle x|p\rangle = e^{ipx}/\sqrt{2\pi\hbar}$を導出すること
• 位置表示・運動量表示の変換を知ること

です。また、一次元方向についてのみ考えます。

1. まとめ #

位置演算子$\hat{x}$の固有状態と運動量演算子$\hat{p}$の固有状態をそれぞれ$|x\rangle, |p\rangle$と書き、直交性を下記のように決めます。

$$ \begin{gather} \langle x|x’\rangle = \delta(x-x’) \\ \langle p|p’\rangle = \delta(p-p’) \\ \end{gather} $$

この時、量$\langle x|p\rangle$は

$$ \begin{gather} \langle x|p\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx} \end{gather} $$

となり、$\psi(x)\equiv\langle x|\psi\rangle, \psi(p)\equiv\langle p|\psi\rangle $として状態$|\psi\rangle$の位置・運動量表示を書くと、両者には次の関係があります。

$$ \begin{align} \left\{ \begin{aligned} \psi(p)&= \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int dx \psi(x) e^{-ipx/\hbar} \\ \psi(x)&= \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int dp \psi(p) e^{ipx/\hbar} \end{aligned} \right.\label{es2} \end{align} $$

2. 演算子の性質 #

誤解のないように先に示しておきますが、本稿において位置演算子$\hat{x}$、運動量演算子$\hat{p}$は、位置表示で下記のように表される演算子を指します。

$$ \begin{align} \hat{x}|x\rangle &= \hat{x}|x\rangle \label{e1}\\ \hat{p}|x\rangle &= -i\hbar\frac{d}{dx} |x\rangle \label{e2} \end{align} $$

2.1. 位置演算子の固有値・固有状態 #

位置演算子を$\hat{x}$と書き、その固有値・固有ベクトルを$x$, $|x\rangle$と書きます。 この時、$|x\rangle$に関する直交性、恒等演算子$\hat{I}_x$は下記の通りに書かれます。

$$ \begin{gather} \hat{x}|x\rangle = x|x\rangle \label{ex1} \end{gather} $$

$$ \begin{gather} \langle x |x’\rangle = \delta(x-x’) \label{ex2} \end{gather} $$

$$ \begin{gather} \hat{I}_x = \int dx |x\rangle\langle x|\label{ex3} \end{gather} $$

ここで$\hat{x}$はエルミート演算子ですので、$\hat{x}^{\dagger}=\hat{x}$であり、その固有値$x$は実数です。

2.2. 運動量演算子の固有値・固有状態 #

運動量演算子も位置演算子と同様に示します。

位置演算子を$\hat{p}$と書き、その固有値・固有ベクトルを$p$, $|p\rangle$と書きます。 この時、$|p\rangle$に関する直交性、恒等演算子$\hat{I}_p$は下記の通りに書かれます。

$$ \begin{gather} \hat{p}|p\rangle = p|p\rangle \label{ep1} \end{gather} $$

$$ \begin{gather} \langle p |p’\rangle = \delta(p-p’) \label{ep2} \end{gather} $$

$$ \begin{gather} \hat{I}_p = \int dp |p\rangle\langle p|\label{ep3} \end{gather} $$

ここで$\hat{p}$はエルミート演算子ですので、$\hat{p}^{\dagger}=\hat{p}$であり、その固有値$p$は実数です。

特に、運動量演算子の位置表示は下記のようになり、これは既知とします。

$$ \begin{align} \hat{p}|x\rangle = -i\hbar\frac{d}{dx} |x\rangle \label{ep4} \end{align} $$

3. 状態の位置・運動量表示 #

状態を$|\psi\rangle$と表現する場合、これは特定の基底による表現を用いない抽象的な表現です。

3.1. 位置表示 #

位置の恒等演算子\eqref{ex3}を$|\psi\rangle$の前に挿入してみますと

$$ \begin{align} |\psi\rangle &= \hat{I}_x|\psi\rangle \label{epx1}\\ &= \int dx \langle x| \psi\rangle |x\rangle \label{epx2} \end{align} $$

となります。更に$\langle x’|$を左から作用させますと

$$ \begin{align} \langle x’|\psi\rangle &= \int dx \langle x| \psi\rangle \langle x’|x\rangle \label{epx3}\\ &=\int dx \langle x| \psi\rangle \delta(x’-x) \label{epx4} \end{align} $$

と変形できます。式\eqref{epx4}の形を見ますと、$\langle x’|\psi\rangle$の部分は下記のようなデルタ関数による関数$f(x)$の表現

$$ \begin{align} f(x)= \int dx’ f(x’)\delta(x’-x) \label{epx5} \end{align} $$

と一致します。そのため、

$$ \begin{align} \langle x|\psi\rangle = \psi(x) \label{epx6} \end{align} $$

という対応があるとみてよく、これは状態の位置表示と呼ばれます。

3.2. 運動量表示 #

同様に、運動量の恒等演算子\eqref{ep3}を$|\psi\rangle$の前に挿入し、$\langle p’ |$を左から作用させると

$$ \begin{align} \langle p’|\psi\rangle &=\int dp \langle p| \psi\rangle \delta(p’-p) \label{epx14} \end{align} $$

となります。よって

$$ \begin{align} \langle p|\psi\rangle = \psi(p) \label{epx16} \end{align} $$

として、状態の運動量表示が得られます。

今、状態の位置表示と運動量表示というように、同じ状態$|\psi\rangle$を異なる表示で表現しました。 しかし、式\eqref{epx6}で表される$\psi(x)$と式\eqref{epx16}で表される$\psi(p)$は同じ状態を余すことなく表現しているはずです。

となると、次に知りたいのは

状態の位置表示である$\psi(x)$と運動量表示$\psi(p)$を直接変換する方法は？

という疑問が湧きます。次はこの疑問について考えていきましょう。

3.3. 位置表示-運動量表示間の変換 #

式\eqref{epx6}, \eqref{epx16}に恒等演算子を挿入していくことで$\psi(x)$と$\psi(p)$との関係を考えます。

式\eqref{epx6}に$\hat{I}_p$を挿入すると

$$ \begin{align} \psi(x)=\langle x|\psi\rangle &= \langle x| \left[\int dp |p\rangle\langle p|\right] |\psi\rangle \\ &= \int dp \langle x|p\rangle \langle p|\psi\rangle \\ &= \int dp \langle x|p\rangle \psi(p) \label{epx21}\\ \end{align} $$

となり、$\psi(x)$ を $\psi(p)$に$\langle x|p\rangle$を掛けた量の積分として書くことができます。

同様にして式\eqref{epx16}に$\hat{I}_x$を挿入すると

$$ \begin{align} \psi(p)=\langle p|\psi\rangle &= \langle p| \left[\int dx |x\rangle\langle x|\right] |\psi\rangle \\ &= \int dx \langle p|x\rangle \langle x|\psi\rangle \\ &= \int dx \langle p|x\rangle \psi(x) \label{epx22}\\ \end{align} $$

となり、$\psi(p)$ を $\psi(x)$に$\langle p|x\rangle$を掛けた量の積分として書くことができます。

以上をまとめると

$$ \begin{align} \left\{ \begin{aligned} \psi(p)= \int dx \langle p|x\rangle \psi(x) \\ \psi(x)= \int dp \langle x|p\rangle \psi(p) \end{aligned} \right.\label{epx23} \end{align} $$

と書けます。式\eqref{epx21}, \eqref{epx22}に従えば、$\psi(x)$と$\psi(p)$の直接の変換ができる事を意味しています。

残る問題は、$\langle x|p\rangle=(\langle p|x\rangle)^*$とは何か？ということだけです。続いてこれを導きましょう。

3.4. $\langle x| p\rangle$の導出 #

天下り的ですが、$\langle x| p\rangle$を求めるために $\langle x|\hat{p}| p\rangle$ という量を考えてみます。

この量は二通りに変形することができます。

1. $\hat{p}|p\rangle$を考える

まずは$\hat{p}$をその固有状態に作用させた結果を考えてみますと下記のように変形できます。

$$ \begin{align} \langle x|\hat{p}| p\rangle &= \langle x| \hspace{0.25em} \Bigl( \hat{p}| p\rangle\Bigr) \\ &= p \langle x| p\rangle \label{epx24} \end{align} $$

2. $\langle x|\hat{p}$を考える

一方で、$\hat{p}$を位置表現のブラに作用させても良いです。ブラへ作用させる場合、$\langle x|\hat{p}=\langle x|(-i)\hbar\frac{d}{dx}$となり、 更に恒等演算子$\hat{x’}$を挟んで式変形すると下記のように整理できます。

$$ \begin{align} \langle x|\hat{p}| p\rangle &= \langle x| \hat{p}\hat{I}_{x’}| p\rangle\bigr) \\ &= \langle x| \left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\hspace{0.2em} \left(\int dx’ |x’\rangle\langle x’|\right) | p\rangle \\ &= \int dx’ \langle x| x’\rangle \left(-i\hbar\frac{d}{dx} \right)\langle x’ | p\rangle \\ &= -i\hbar\frac{d}{dx} \langle x | p\rangle \label{epx25} \end{align} $$

ここで、式\eqref{ex2}を用いました。

式\eqref{epx24}, \eqref{epx25}は同じものから出発していますので同一です。そのため微分方程式

$$ \begin{align}\label{epx26} p \langle x| p\rangle = -i\hbar\frac{d}{dx} \langle x | p\rangle \end{align} $$

を得ます。これを$\langle x| p\rangle$について解けば

$$ \begin{align}\label{epx27} \langle x| p\rangle = C e^{ipx/\hbar} \end{align} $$

を得ます。ここで$C$は任意の定数で、別の条件から決める必要があります。

続いて定数$C$を求めてみましょう。 状態$|p\rangle$に恒等演算子を掛けても変化しないことを利用して求めていきます。つまり、

$$ \begin{align} |p\rangle &= \hat{I}_p \hat{I}_x|p\rangle \\ &=\hat{I}_p \int dx|x\rangle \langle x|p\rangle \\ &=\int dx \int dp’|p’\rangle\langle p’|x\rangle \langle x|p\rangle\\ &=|C|^2 \int dp’|p’\rangle \int dx e^{i(p-p’)x/\hbar} \\ &=|C|^2 \int dp’|p’\rangle 2\pi \delta((p-p’)/\hbar) \label{epx28}\\ &=|C|^2 2\pi \hbar |p\rangle \label{epx29} \end{align} $$

と書けます。右辺と左辺は恒等演算子しか挿入していないので同一になるはずです。つまり、

$$ \begin{align}\label{epx30} |C|^2 2\pi \hbar=1 \hspace{1em}\rightarrow\hspace{1em} |C|=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \end{align} $$

を得ます。 ここで、式\eqref{epx29}において

$$ \begin{align}\label{epx31} \delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x),\hspace{1em}(a\gt 0) \end{align} $$

を利用しています。 また、$C$の偏角を決めることに意味はないので実数値に取り, そのまま$C=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$とします。 よって、

$$ \begin{align}\label{epx32} \langle x| p\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{ipx/\hbar} \end{align} $$

を得ます。これで$\langle x|p\rangle$が求まりました。

以上から、式\eqref{epx23}に代入することで位置・運動量表示間の変換式

$$ \begin{align} \left\{ \begin{aligned} \psi(p)&= \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int dx \psi(x) e^{-ipx/\hbar} \\ \psi(x)&= \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int dp \psi(p) e^{ipx/\hbar} \end{aligned} \right.\label{epx33} \end{align} $$

を得ます。式\eqref{epx33}はまさにフーリエ変換となります。

4. 補足 #

4.1. 位置・運動量表示の異なる規格化方法 #

位置と運動量の固有状態の直交性をそれぞれ下記のように定義してみます¹².

$$ \begin{align} \langle x|x’\rangle &= \delta(x-x’) \label{ea1}\\ \langle p|p’\rangle &= 2\pi\hbar\delta(p-p’)\label{ea2} \end{align} $$

すると、運動量の恒等演算子は

$$ \begin{gather}\label{ea3} \hat{I}_p = \int \frac{dp}{2\pi\hbar} |p\rangle\langle p| \end{gather} $$

と定義されなおします。この時、

$$ \begin{align} \psi(p)&=\int dx\langle p|x\rangle\psi(x) \label{ea4}\\ \psi(x)&=\int \frac{dp}{2\pi\hbar}\langle x|p\rangle\psi(p)\label{ea5} \end{align} $$

となり、量$\langle x|p\rangle = C e^{ipx/\hbar}$の定数$C$は、式\eqref{epx28}と同様にして

$$ \begin{align} |p\rangle &= \hat{I}_p \hat{I}_x|p\rangle \\ &=\hat{I}_p \int dx|x\rangle \langle x|p\rangle \\ &=\int dx \int \frac{dp’}{2\pi\hbar}|p’\rangle\langle p’|x\rangle \langle x|p\rangle\\ &=|C|^2 \int \frac{dp’}{2\pi\hbar} |p’\rangle \int dx e^{i(p-p’)x/\hbar} \\ &=|C|^2 \int \frac{dp’}{2\pi\hbar}|p’\rangle 2\pi \delta((p-p’)/\hbar) \label{ea6}\\ &=|C|^2 |p\rangle \label{ea7} \end{align} $$

となるので、

$$ \begin{align}\label{ea8} |C|=1 \end{align} $$

を得ます。よって、

$$ \begin{gather} \langle x|p\rangle = e^{ipx} \end{gather} $$

となります。最後に状態$|\psi\rangle$の位置・運動量表示を書くと、両者には次の関係になることが分かります。

$$ \begin{align} \left\{ \begin{aligned} \psi(p)&= \int dx \psi(x) e^{-ipx/\hbar} \\ \psi(x)&= \int \frac{dp}{2\pi\hbar} \psi(p) e^{ipx/\hbar} \end{aligned} \right.\label{es2xx} \end{align} $$