ブラケット記法の操作 #

本稿では、量子力学で登場するブラケット記法の扱い方について記載します。 ブラケット表記の詳しい説明はせず、どのような操作ができるか？に焦点を当てます。

1. 関数の表現 #

$$\begin{align} \psi(\mathbf{r}) &= \langle\mathbf{r}|\psi\rangle \label{e1}\\ \psi(\mathbf{p}) &= \langle\mathbf{p}|\psi\rangle \label{e2} \end{align}$$

$|\psi\rangle$: 特定の基底による表現を用いない状態の記述¹
$\psi(\mathbf{r})$: 位置の表示による状態の記述 $\psi(\mathbf{p})$: 運動量の表示による状態の記述

2. エルミート共役 #

演算子$\hat{A}$のエルミート共役を$\hat{A}^{\dagger}$と表し、$\dagger$を用いてエルミート共役を表現します。 また、$\hat{A}$の複素共役を$\hat{A}^{\ast}$と表し、$\ ^\ast$を用いて複素共役を表現します。

エルミート共役を作用させると、演算子やブラ、ケットに対し下記のような作用をもたらします。

$$\begin{align} {|{\psi}\rangle}^{\dagger} = \langle{\psi}| \label{e3}\\ {\langle{\psi}|}^{\dagger} = |{\psi}\rangle \label{e4} \end{align}$$

$$\begin{align} \label{e5} \bigl(\hat{A}^{\dagger}\bigr)^{\dagger} = \hat{A} \end{align}$$

$$\begin{align} \label{e6} \bigl(\hat{B}\hat{A}\bigr)^{\dagger} = \hat{A}^{\dagger}\hat{B}^{\dagger} \end{align}$$

$$\begin{align} \label{e7} \bigl(\hat{A}|\psi\rangle\bigr)^{\dagger} = \langle{\psi}|\hat{A}^{\dagger} \end{align}$$

$$\begin{align} \label{e8} \bigl(c_1 | \psi_1 \rangle + c_2 | \psi_2 \rangle\bigr)^{\dagger} = c_1^{\ast}\langle\psi_1| + c_2^{\ast}\langle\psi_2| \end{align}$$

$$\begin{align} \label{e9} \bigr(|\psi\rangle\langle\phi|\bigr)^{\dagger} = |\phi\rangle\langle\psi| \end{align}$$

$$\begin{align} \label{e10} \bigl(\langle\phi|\hat{A}|\psi\rangle\bigr)^{\dagger} &= |\psi\rangle^{\dagger} \hat{A}^{\dagger}\langle\phi| ^{\dagger} = \langle\psi|\hat{A}^{\dagger}|\phi\rangle \end{align}$$

$$\begin{align} \label{e11} \bigl( \langle\phi|\psi\rangle \bigr)^{\dagger} = \langle\psi|\phi\rangle \end{align}$$

$c_1, c_2$: スカラー

演算子$\hat{A}$の逆演算子$\hat{A}^{-1}$が存在するならば、次の関係式が成り立ちます。

$$\begin{align} \Bigl(\hat{A}^{-1}\Bigr)^{\dagger} = \Bigl(\hat{A}^{\dagger}\Bigr)^{-1} \end{align}$$

3. 恒等演算子の挿入 #

状態$|\phi\rangle$が完全系を成すならば（または完全系であるための条件として）、恒等演算子$\hat{I}$を

$$\begin{align} \hat{I} = \int d\phi |\phi\rangle\langle\phi| \end{align}$$

と書き表すことができます。恒等演算子は演算に影響を与えない、いわば掛け算の1に相当するので、式の任意の場所に挿入することができます。

完全系をなす状態$|x\rangle$を考えますと、例えば$\phi$と$\psi$の内積を考えたとき、下記のような様々な変換が可能です。

$$\begin{align} \langle\phi|\hat{A}|\psi\rangle &= \langle\phi|\hat{A}\hat{I}|\psi\rangle \\ &=\langle\phi|\hat{A}\left(\int dx |x\rangle\langle x| \right) |\psi\rangle \\ &=\int dx \langle\phi|\hat{A}|x\rangle \langle x|\psi\rangle \\ \end{align}$$

上記のような変形や、$\hat{A}$の前にも追加して

$$\begin{align} \langle\phi|\hat{A}|\psi\rangle &= \langle\phi|\hat{I}\hat{A}\hat{I}|\psi\rangle \\ &=\langle\phi|\left(\int dx’ |x’\rangle\langle x’| \right) \hat{A}\left(\int dx |x\rangle\langle x| \right) |\psi\rangle \\ &=\int dx’ \int dx \langle\phi|x’\rangle \langle x’|\hat{A}|x\rangle \langle x|\psi\rangle \end{align}$$

など様々な変形が可能です。もし、$x$が位置を表しているならば、$\langle x|\psi\rangle=\psi(x)$と状態$|\psi\rangle$の位置表示なので

$$\begin{align} \langle\phi|\hat{A}|\psi\rangle \equiv \int dx’ \int dx \phi^{*}(x’) A(x’,x) \psi(x) \end{align}$$

となります。$A(x’,x)\equiv \langle x’|\hat{A}|x\rangle$と置きました。