電磁場中の荷電粒子に対する非相対論的シュレーディンガー方程式から双極子近似まで- #

1. 本稿のスタートと結論 #

本稿では電磁場中の荷電粒子に対する非相対論的シュレーディンガー方程式の導出を行います.

自由粒子に対する非相対論的時間依存シュレーディンガー方程式

$$ \begin{align}\label{tdse} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t)= \frac{\mathbf{p}^2}{2m} \Psi(\mathbf{r},t) \end{align} $$

からスタートして, 電磁場中の荷電粒子に対する非相対論的シュレーディンガー方程式

$$ \begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t)= \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +i\hbar \frac{q}{2m}(\mathbf{A}\cdot \nabla+\nabla\cdot \mathbf{A}) +\frac{q^2}{2m}\mathbf{A}^2 +q\phi \right]\Psi(\mathbf{r},t) \end{align} $$

を簡単に導きます($\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r},t), \phi=\phi(\mathbf{r},t)$).

その後, クーロンゲージ($\nabla\cdot \mathbf{A}=0$)を満たす$\chi(\mathbf{r},t)$を選び, かつ双極子近似($\mathbf{A}\approx\mathbf{A}(t)$)を採用した場合に 電磁場中の一電子原子の電子(電荷$q=-e$)に対する, 速度ゲージ (Velocity gauge) , 長さゲージ (Length gauge) における真空中の非相対論的シュレーディンガー方程式

$$ \begin{gather} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t)= \left[H_0-\frac{e}{\mu}\mathbf{A}(t)\cdot \mathbf{p}\right]\Psi(\mathbf{r},t) \label{e3}\\ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t)= \left[H_0 + e\mathbf{E}(t)\cdot \mathbf{r}\right]\Psi(\mathbf{r},t) \label{e4} \end{gather} $$

を導きます.ここで$H_0$は電磁場のない空間における原子のハミルトニアンです.

式\eqref{e3}は速度ゲージ, 式\eqref{e4}は長さゲージにおける非相対論的シュレーディンガー方程式と呼ばれています.
双極子近似である\eqref{e3}, \eqref{e4}は, $\mathbf{A}^2$を含む非線形項を無視するので, 一光子過程しか考えない( 多光子過程が起こらない)という近似が入っています.

正確な文章を希望する方は本稿の参考文献¹をご参照ください.

2. 電磁場中の荷電粒子に対する非相対論的シュレーディンガー方程式 #

歴史的には, 電磁場中を動くスピンなしの自由な非相対論的な荷電粒子に対するハミルトニアンは, Goldstein によって導出されました(1980).

ここでは簡単に導きます。 まず、電磁場中の荷電粒子が持つ古典的なハミルトニアンを考えて、エネルギーと運動量を量子力学の演算子に変換することで量子力学のハミルトニアンを得ます。

2.1. 荷電粒子のハミルトニアン #

古典的に、電荷$q$, 重さ$m$を持つ荷電粒子が電磁場中を運動する場合, エネルギー$E$と運動量$\mathbf{p}$をそれぞれ

$$ \begin{align} \left\{\begin{aligned} E&\to E-q\phi \\ \mathbf{p}&\to \mathbf{p}-q\mathbf{A}\ \end{aligned}\right. \end{align} $$

と変更して得ることができます.
ここで, $\phi=\phi(\mathbf{r},t)$はスカラーポテンシャル, $\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r},t)$はベクトルポテンシャルを意味します.

エネルギーをハミルトニアンと見なせば, 電磁場中のハミルトニアンは下記になっていると予想できます(詳しい導出はAppendixへ)。

$$ \begin{align} H&=\frac{\mathbf{p}^2}{2m} \hspace{7.5em} \mbox{電磁場無し}\\ \nonumber\\ &\downarrow H\to H-q\phi, ~\mathbf{p}\to \mathbf{p}-q\mathbf{A}\nonumber \\ \nonumber\\ H-q\phi&= \frac{1}{2m}(\mathbf{p}-q\mathbf{A})^2 \hspace{3em} \mbox{電磁場有り}\\ H&= \frac{1}{2m}(\mathbf{p}-q\mathbf{A})^2+q\phi \label{cheq1} \end{align} $$

古典的な電磁気学のハミルトニアン\eqref{cheq1}を基に、量子力学のハミルトニアンに移ることを考えましょう。特に量子力学の座標表示における演算子で考えます。 演算子の具体的な形を考えるためには, 位置座標$\mathbf{r}$はそのまま、運動量は位置座標における運動量演算子$\mathbf{p}\to -i\hbar\nabla$に書き変えればよくて、

$$ \begin{align} H&=\frac{1}{2m}(\mathbf{p}-q\mathbf{A})^2+q\phi \\ \to H&=\frac{1}{2m}(-i\hbar\nabla-q\mathbf{A})(-i\hbar\nabla-q\mathbf{A})+q\phi \\ &= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +i\hbar \frac{q}{2m}(\mathbf{A}\cdot \nabla+\nabla\cdot \mathbf{A}) +\frac{q^2}{2m}\mathbf{A}^2 +q\phi \end{align} $$

となります.

よって, 電磁場中における荷電粒子 (電荷$q$, 重さ$m$) に対する非相対論的シュレーディンガー方程式は以下の方程式となります.

$$ \begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) =\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +i\hbar \frac{q}{2m}(\mathbf{A}\cdot \nabla+\nabla\cdot \mathbf{A}) +\frac{q^2}{2m}\mathbf{A}^2 +q\phi \right]\Psi(\mathbf{r},t) \label{emtdse} \end{align} $$

（再掲 : $\phi=\phi(\mathbf{r},t)$, $\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r},t)$）

この方程式は電磁場に対する近似は入っていないことを注記しておきます.

2.2. 電場$\mathbf{E}$, 磁場$\mathbf{B}$とベクトルポテンシャル$\phi$, スカラーポテンシャル$\mathbf{A}$ #

電磁気学によると, 電場$\mathbf{E}$, 磁場$\mathbf{B}$とベクトルポテンシャル$\phi$, スカラーポテンシャル$\mathbf{A}$の間には以下のような関係があります.

$$ \begin{align} \left\{\begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r},t)&=-\nabla \phi(\mathbf{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf{A}(\mathbf{r},t) \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},t)&=\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r},t) \end{aligned}\right. ~\label{EBPA} \end{align} $$

式\eqref{EBPA}から, $\phi$, $\mathbf{A}$が決まれば$\mathbf{E}, \mathbf{B}$は一意に決まりますが,$\mathbf{E}, \mathbf{B}$が決まっても$\phi$, $\mathbf{A}$は一意に決まらないことが分かります.

つまり, 適当な関数$\chi(\mathbf{r},t)$を用いて

$$ \begin{align} \left\{\begin{aligned} \mathbf{A}(\mathbf{r},t)&=\mathbf{A}’(\mathbf{r},t)+\nabla \chi(\mathbf{r},t) \\ \phi(\mathbf{r},t)&=\phi’(\mathbf{r},t)-\frac{\partial}{\partial t}\chi(\mathbf{r},t) \end{aligned}\right. \label{maxwelltr} \end{align} $$

\eqref{maxwelltr} と$\phi\to\phi’, ~\mathbf{A}\to \mathbf{A}’$変換しても全く同一の$\mathbf{E}, \mathbf{B}$が作れてしまうという任意性が存在します.

実際に代入してこの任意性を確かめてみますと

$$ \begin{align} \left\{\begin{aligned} \mathbf{E}(\mathbf{r},t)&= -\nabla \left(\phi(\mathbf{r},t)-\frac{\partial}{\partial t} \chi(\mathbf{r},t)\right) -\frac{\partial }{\partial t}\Bigl(\mathbf{A}’(\mathbf{r},t)+\nabla \chi(\mathbf{r},t)\Bigr) \nonumber\\ &=-\nabla \phi’(\mathbf{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf{A}’(\mathbf{r},t) \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},t)&=\nabla \times \Bigl(\mathbf{A}’(\mathbf{r},t)+\nabla \chi(\mathbf{r},t) \Bigr ) \nonumber\\ &=\nabla \times \mathbf{A}’(\mathbf{r},t) \end{aligned}\right. ~\label{EBPA2} \end{align} $$

となり、式\eqref{EBPA}と同じ形となります.
つまり$\phi, ~\mathbf{A}$の表現で一意に決めたいのならば, 追加で$\chi(\mathbf{r},t)$を指定する必要がある(ゲージを決める)ということです.

2.3. ゲージ変換 (Gauge transform) #

電磁気学によると, マクスウェル方程式\eqref{maxwelltr}に見たように, $\phi, \mathbf{A}$には任意性であるゲージ$\chi(\mathbf{r}, t)$が存在することが分かっています。

今, 電磁場中のシュレーディンガー方程式\eqref{emtdse}は$\phi, \mathbf{A}$による表現がなされているので, 電磁気学と矛盾しないようにシュレーディンガー方程式もゲージ変換の任意性を要請します。 どちらも同じこの世界にある法則ですからね.

もし, シュレーディンガー方程式がゲージ変換可能な形にならなければ, シュレーディンガー方程式またはマクスウェル方程式の少なくとも一方に間違いがあることが示されます.

実際に代入して計算していくと、電磁場中のシュレーディンガー方程式のゲージ変換は, 波動関数の変更も加えて

$$ \begin{align} \left\{\begin{aligned} \mathbf{A}(\mathbf{r},t)&=\mathbf{A}’(\mathbf{r},t)+\nabla \chi(\mathbf{r},t) \\ \phi(\mathbf{r},t)&=\phi’(\mathbf{r},t)-\frac{\partial}{\partial t}\chi(\mathbf{r},t) \\ \Psi(\mathbf{r},t)&=\Psi’(\mathbf{r},t)\exp\left[i\frac{q}{\hbar}\chi(\mathbf{r},t)\right] \end{aligned}\right. ~\label{gaugetr} \end{align} $$

とする必要があります²。

つまり, 式\eqref{emtdse}についてそれぞれゲージ変換\eqref{gaugetr}を行い, ゲージ変換後のプライムがついたそれぞれの関数で表現すると変換前の方程式と全く同一の形

$$ \begin{align}\label{emtdse2} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi’(\mathbf{r},t) =\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +i\hbar \frac{q}{2m}(\mathbf{A}’\cdot \nabla+\nabla\cdot \mathbf{A}’) +\frac{q^2}{2m}\mathbf{A}’^2 +q\phi’ \right]\Psi’(\mathbf{r},t) \end{align} $$

が現れるということです (計算過程はAppendixをご覧ください).

少しでもゲージ変換を理解するためにもっとも簡単な例を考えるならば, $\chi(\mathbf{r},t)=c$と定数である場合を考えるとよいでしょう.これは波動関数の位相を定数分だけずらすことにしかならず, 物理的な意味を変えません。つまり、電磁場中のシュレーディンガー方程式は、マクスウェル方程式のゲージ変換に対する任意性を満たしており、矛盾は生じておらず安心だ、ということです。

2.3.1. ゲージの選択 #

ゲージ変換という任意性$\chi(\mathbf{r},t)$が存在するということは, 波動関数や電場・磁場を指定しても場合・解く人それぞれ別の式を考えてしまう可能性がある³という反面, 任意性を利用してシュレーディンガー方程式を解くのに 都合の良い電場・磁場の形を持つようなゲージ$\chi(\mathbf{r},t)$を選択しても良いという利点とも捉えられます.

既に先人によっていろいろ便利な選び方が見つけられてきました. その中でローレンスゲージとクーロンゲージと呼ばれる選び方が有名です⁴ ローレンスゲージは電磁気学で良く使われ, 対称性が良いゲージです. クーロンゲージはシュレーディンガー方程式を解くのに有用であり, 本稿ではクーロンゲージにのみ絞って考えていきます.

2.3.1.1. クーロンゲージ (Coulomb gauge) #

クーロンゲージとは,

$$ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{A}=0 \end{align} $$

を満たすように$\chi(\mathbf{r},t)$を選ぶゲージです.

このクーロンゲージにおいて, 電磁場がどのように表されているか調べましょう. 電磁ポテンシャルを用いたマクスウェル方程式を考えます.

$$ \begin{align} \left\{\begin{aligned} &\nabla^2 \phi + \frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot \mathbf{A} = -\frac{\rho}{\varepsilon} \\ &\nabla^2 \mathbf{A}-\varepsilon\mu \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} -\nabla\left(\varepsilon\mu \frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot \mathbf{A}\right)=-\mu \mathbf{j} \end{aligned}\right. \label{Nphi} \end{align} $$

ここで, $\rho=\rho(\mathbf{r},t)$ は空間の電荷密度であり, $\mathbf{j}=\mathbf{j}(\mathbf{r},t)$ は電流密度です. クーロンゲージは $\nabla\cdot \mathbf{A}=0$ になるように選ぶので,

$$ \begin{align} \left\{\begin{aligned} &\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon} \\ &\nabla^2 \mathbf{A}-\varepsilon\mu \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} -\varepsilon\mu\nabla \frac{\partial\phi}{\partial t}=-\mu \mathbf{j} \end{aligned}\right. \label{coulombgaugepA} \end{align} $$

と書き換えられます.
$\phi$の方程式\eqref{coulombgaugepA}の第一式は, 静電気学で現れていた方程式です. つまりクーロンゲージでは($\phi$についてだけですが)、時間に依存する電磁気現象を静電気学で考えられる利点があります.

つまり式\eqref{Nphi}のまま電荷密度 $\rho$ や電流密度 $\mathbf{j}$ から $\phi$ や $\mathbf{A}$ を求めて シュレーディンガー方程式に適用したいと考えて導出を試みても, なかなか大変です. たとえ真空中$\rho(\mathbf{r},t)=0, \mathbf{j}=\mathbf{0}$であっても, 次のマクスウェル方程式

$$ \begin{align} \left\{\begin{aligned} &\nabla^2 \phi + \frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot \mathbf{A} = 0\\ &\nabla^2 \mathbf{A}-\varepsilon\mu \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} -\nabla\left(\varepsilon\mu \frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot \mathbf{A}\right)=0 \end{aligned}\right. \end{align} $$

を解くのはなかなか複雑です. ですが, 真空中でクーロンゲージの場合であれば,

$$ \begin{align} \left\{\begin{aligned} &\nabla^2 \phi = 0\\ &\nabla^2 \mathbf{A}-\varepsilon\mu \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} -\varepsilon\mu\nabla \frac{\partial\phi}{\partial t}=0 \end{aligned}\right. \end{align} $$

となります.

少なくとも真空中では$\phi=\phi(t)$はマクスウェル方程式の解であり, 空間にいきなり電荷が現れるわけではないのなら $\phi=\mbox{(定数)}$としてすぐに求めることができます. これを用いてしまえば, $\mathbf{A}$ は完全に波の方程式であり, その解は $\mathbf{A}\propto \sin(\mathbf{k}\mathbf{r}-\omega t)$ の線形結合となり, 光速度で進む解となります.

クーロンゲージにおける, 電磁場中の一電子原子の電子に対する非相対論的シュレーディンガー方程式 #

電磁場中のシュレーディンガー方程式の話に戻りましょう. \eqref{emtdse}, もしくは\eqref{emtdse2}ではゲージを指定していませんでしたが, クーロンゲージであることを指定するともう少し変形を進められます. プライムは冗長になりますので, プライム無しで書いていきます.

$$ \begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) =\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +i\hbar \frac{q}{2m}(\mathbf{A}\cdot \nabla+\nabla\cdot \mathbf{A}) +\frac{q^2}{2m}\mathbf{A}^2 +q\phi \right]\Psi(\mathbf{r},t) \end{align} $$

まず, クーロンゲージの性質$(\nabla\cdot \mathbf{A})=0$を利用すれば,

$$ \begin{align} \nabla\cdot (\mathbf{A}\Psi)&= (\nabla\cdot \mathbf{A})\Psi + \mathbf{A}\cdot (\nabla\Psi)\\ &= \mathbf{A}\cdot (\nabla\Psi) \end{align} $$

となります⁵.よって、

$$ \begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) =\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +i\hbar \frac{q}{m}\mathbf{A}\cdot \nabla +\frac{q^2}{2m}\mathbf{A}^2 +q\phi \right]\Psi(\mathbf{r},t) \end{align} $$

と整理できます.

続いて原子との相互作用を考えてみます. 原子ではクーロンポテンシャルが加わるのでこれをポテンシャルエネルギーとして追加させます. 原子核と電子はもちろん電磁気力で引き合っているので, 厳密には$\phi$として入れなければなりませんが, そうはしません. なぜなら, 最も軽い水素原子の場合でも電子の重さ$m$と原子核の重さ$M$が1000倍ほど違うので, 原子核と電磁場の相互作用が無視できる状況を考えているからです.

この状況ではその効果は, ハミルトニアンに原子核-電子のクーロンポテンシャルを$V(\mathbf{r})$として追加するだけでよいです. また, 電子に対するシュレーディンガー方程式を立てるので$q=-e$ ($e\approx 1.602\times 10^{-19} \mathrm{[C]}$は電荷素量)として

$$ \begin{align}\label{vtdse} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) =\left[ H_0 -i\hbar \frac{e}{\mu}\mathbf{A}\cdot \nabla +\frac{e^2}{2\mu}\mathbf{A}^2 -e\phi \right]\Psi(\mathbf{r},t) \end{align} $$

と書き表せます. ここで$H_0\equiv -\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2+V(\mathbf{r})$ は電磁場がない時の原子のハミルトニアンを意味します. $V(\mathbf{r})$は、原子の多くの場合で$V(\mathbf{r})|_{r\to\infty}\propto -1/r$の形を持ちます。

また, 質量を原子核と電子の換算質量$\mu\equiv\frac{mM}{m+M}$に変更しました⁶

弱電場近似 (電場強度が非常に小さいため一光子吸収しか起こらない場合) #

真空中に電磁波だけが存在する場合をクーロンゲージで考えます.

真空中では空間の電荷密度$\rho(\mathbf{r},t)$は$0$ですので, クーロンゲージにおけるスカラーポテンシャルは$\nabla^2\phi=0$を満たします。

そのため、無限遠を基準($\phi(\mathbf{r},t)|_{|\mathbf{r}|\to\infty}=0$)として$\phi=0$にとることができます. もしも電磁波の強度（つまりは振幅）が非常に弱い, つまり$|\mathbf{A}|<1$であれば, $\mathbf{A}^2$の値は$\mathbf{A}$に比べて非常に小さくなるので無視できるようになります. すると\eqref{vtdse}は

$$ \begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) =\left[H_0-i\hbar \frac{e}{\mu}\mathbf{A}(\mathbf{r},t)\cdot \nabla \right]\Psi(\mathbf{r},t) \end{align} $$

と$\mathbf{A}^2$の項を落とす近似が成立します. この近似は, 電場の強度が小さいけれども電場の空間変化量が無視できず, $\mathbf{A}=\mathbf{A}(\mathbf{r},t)$のまま書きすすめたい場合に有効です. %別の言い方をすると, $\mathbf{A}^2$の項を落としたことは, 遷移が起こる場合には遷移前と遷移後のパリティが違うことを表すので, 1, 3, 5,…の奇数次の吸収しか起こらないということでもあります

%\footnote{一次元の問題を考えるとわかりやすいですが, 基底状態, 第一励起状態, 第二励起状態, %…となるとき, 偶関数, 奇関数, 偶関数, …と偶奇が順番に来ます. %後程, 長さゲージの項目で詳細を述べますが, 双極子の項（$\mathbf{A}$を含む項）だけを残すことは, %奇関数(位置$\mathbf{r}$)の期待値を計算するので, 遷移前と遷移後の偶奇性が異なるときだけ値を持ち, %遷移が可能となります.つまり, }. $\mathbf{A}^2$の項は, 例えば多光子過程であることが別の事から分かっている場合, この近似は適切ではありません.

\subsection{双極子近似} 続いて双極子近似を考えましょう. 双極子近似は, 電磁波の波長が原子に比べて非常に長い場合に有効な近似であり, 一光子吸収しか起こらないことを想定する近似です. 一応注意しますが, これは一度に１光子以上の光子が吸えない事を仮定する近似であって, １光子は何回でも吸えます \footnote{つまり, 中間状態が存在しなければ遷移が起こらない場合が存在するということです. 具体的にエネルギー$E_0$を持つ状態と$E_0+2\hbar \omega$を持つ状態を考え, この状態間を遷移する事を考えます. そして, 電磁波のエネルギーは$\hbar \omega$である場合を考えます. 双極子近似の範囲では $E_0\to E_0+\hbar \omega\to E_0+2\hbar \omega$ という順々に一度$E_0+\hbar \omega$ の状態に遷移しなければなりませんが, 近似なしの本当の量子力学では($\mathbf{A}^2$を含んでいれば) $E_0\to E_0+2\hbar \omega$ という遷移が許されます. $E_0+\hbar \omega$の状態への遷移確率がゼロであれば, 双極子近似の範囲ではこの遷移は起こるはずがない, という結論になります. }.

前節(\ref{wfa})の弱電場近似よりも条件（電磁波の波長が原子に比べて非常に長い）が課されます. つまり, 電磁波の波長が長く, 強度が原子核-電子間のクーロン力に匹敵する強度($I\approx 3.5\times 10^{16}\mathrm {W/cm^2}$)に比べて非常に小さい場合 \footnote{\cite{IK}にあるように, 実際にはこの強度よりもずっと低い強度で双極子近似は有効ではなくなります. これは電磁波中の荷電粒子が, 電磁波中にいるだけでその時間的な平均値分だけエネルギーを得るためです. これによって, そもそもの原子のエネルギーがあたかも追加されたようになり, 光子の周波数によるエネルギーが低くてもイオン化が起こってしまいます. このエネルギーの追加量はポンデロモーティブエネルギーと呼ばれています. そのため, 摂動論と非摂動論の境界は$\lambda\approx 500\sim 1000\mathrm {nm}$ において強度$I\approx 10^{13}\sim10^{14}\mathrm {W/cm^2}$程度の時となるようです.} に利用できます.

導出のスタートは\eqref{vtdse}です. クーロンゲージから上記近似を利用することで, $\mathbf{A}^2$を含む項を消すことが目的です.

一般的にはなかなか想像がつかなかったので, 特定の電磁場について双極子近似がどのように導かれるかを示し, 一般にも適応できると大雑把に考えましょう.

電磁場$\mathbf{X}$として波数ベクトル$\mathbf{k}$の方向に進行し, 角周波数$\omega$を持つ電磁波を考えます($\mathbf{X}$は$\mathbf{A}, \mathbf{E}, \mathbf{B}$を代表して書いています). すると, $\mathbf{X}=\mathbf{X}(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})$と書くことができます. 双極子近似に適用するために, 原点（原子核）の近傍$|\mathbf{r}|\to 0$において, 以下のようにテーラー展開することができます(計算仮定はAppendix \ref{appTlor}をご覧ください). \be \mathbf{X}(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})= \mathbf{X}(\omega t)

• \frac{\mathbf{k}\mathbf{r}}{\omega}\frac{d \mathbf{X}(\omega t)}{dt} +O(|\mathbf{r}|^2) \ee この右辺第一項までを考えたものが双極子近似となります. つまり, \be\label{dpXt} \mathbf{X}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{X}(\omega t) +O(|\mathbf{r}|) \ee と考えてしまうことが双極子近似です.

式の上では前述の通りですが, 果たして具体的に問題を考えたときに双極子近似が使えるのでしょうか. 具体的に水素様原子を考えて適用可能か考えてみましょう. 電磁場のない時の水素様原子の$n=2\to n=1$に 必要なエネルギー準位に相当する波長$\lambda$は, \be \label{lambda0} \lambda = \frac{1.2}{Z^2}\times 10^{-7} ~\mathrm{[m]} \ee となります \footnote{電磁場なので, 光速度$c$が一定であることから, $E=\hbar \omega =\frac{hc}{\lambda}$となりますので$\lambda$と$\omega$は変換可能です.}. また, 原子を回る電子の位置の期待値$\braket{r}$, つまり電子雲の広がりは \be\label{r0} \braket{r}=\frac{0.8 n^2}{Z}\times 10^{-10}~\mathrm{[m]}, ~(\mbox{for }l=0) \ee です. \eqref{lambda0}と\eqref{r0}を比較すると, 繊維に必要な電磁波の波長は, 電子雲の広がりに対して非常に大きいことが分かります. つまり, 原子核上の電磁場の値を原子全体の値として考えても良いわけです. %%このように考える近似を双極子近似と呼びます.

双極子近似はおおよそ \be \frac{\braket{r}}{\lambda} \approx Zn^2\times 10^{-3} \ll 1 \ee が満たされるときに使える近似です. よって, 水素様原子で離散状態間の遷移を考える場合, 双極子近似は有効な近似法だと分かります. 主量子数$n$が非常に大きいときや, 原子核の電荷が大きくなるにつれて双極子近似は使えなくなります.

双極子近似下においては, 電磁波$\mathbf{E},\mathbf{B}$の空間依存性が無くなります. このことから, $\phi, \mathbf{A}$も空間依存性がなくなり $\phi=\phi(t)=0, \mathbf{A}=\mathbf{A}(t)$を選ぶことができます(詳細はAppendix \ref{Crhoj}をご覧ください). ただし, $\chi$は$\mathbf{r}$に関して一次までなら含む可能性があります.

%時間依存性が無い$\phi, \mathbf{A}$は, %クーロンゲージの条件$\nabla\cdot \mathbf{A}=0$に注意しなくても自動的にこれが満たされるので, %双極子近似とクーロンゲージは相性が良いです.

ここまでの話をまとめます.

双極子近似下では, 電磁波の空間依存性が無い場合を考えることができることを見てきました(\eqref{dpXt}). 続いては具体的に双極子近似を課した際に, どういう便利な点がある近似なのか考えていきます. 利点として挙げられるのは, $\mathbf{A}(\mathbf{r}, t)\approx\mathbf{A}(t)$である時, クーロンゲージの条件である $\nabla\cdot \mathbf{A}=0$は, 空間依存性が無いために自動的に満たされるので, 条件を意識する必要がなくなることです.

そして具体的にゲージ変換の任意性$\chi(\mathbf{r},t)$について考えていきます. ゲージ変換の式(\ref{ga})より, $\chi$に位置依存性が含まれる場合, $\mathbf{r}$に関して一次までであれば $\mathbf{A}$が時間依存性しか含まない形にできることが分かります. つまり, \be\label{as1} \chi(\mathbf{r},t)\propto \chi(t) \ee もしくは \be\label{as2} \chi(\mathbf{r},t)\propto \mathbf{r}\cdot\mathbf{X}(t) \ee の形が想定されます.

結論として, \eqref{as1}を想定すると速度ゲージ, \eqref{as2}を想定すると長さゲージのシュレーディンガー方程式が導かれます.

\subsubsection{速度ゲージ (Velocity gauge)} まずは$\chi$も位置依存性を含まない\eqref{as1}の場合を考えてみます. この形で, ゲージ変換 $\mathbf{A}^2$の項をなくすことができる以下の$\chi(t)$について考えてみましょう. \be \chi(t)=\frac{e}{2\mu}\int^t \mathbf{A}^2(t’) dt’ \ee この$\chi(t)$に従ってゲージ変換を行うと, \eqref{gaugetr}に従うプライムのついたポテンシャルと波動関数は以下の通りになります. \bs \begin{empheq}[left = {\empheqlbrace ,}, right = {}]{align} \mathbf{A}(t)&=\mathbf{A}’(t) \nonumber\ &\to \mathbf{A}’(t)= \mathbf{A}(t) \ 0&=\phi’(t)-\frac{e}{2\mu} \mathbf{A}^2(t) \nonumber\ &\to \phi’(\mathbf{r},t)= \frac{e}{2\mu} \mathbf{A}^2(t) = \frac{e}{2\mu} \mathbf{A}’^2(t) \ \Psi(\mathbf{r},t)&=\Psi’(\mathbf{r},t)\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\frac{e^2}{2\mu} \int^t \mathbf{A}^2(t’) dt’\right] \end{empheq} \es \eqref{emtdse}から\eqref{emtdse2}に変形できたように, $\mathbf{\phi}’, \mathbf{A}’, \Psi’$で表現すると以下のようになります. \bs \begin{gather} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) #

\left[ H_0 -i\hbar \frac{e}{\mu}\mathbf{A}\cdot \nabla +\frac{e^2}{2\mu}\mathbf{A}^2 -e\phi \right]\Psi(\mathbf{r},t) \ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi’(\mathbf{r},t) #

\left[ H_0 -i\hbar \frac{e}{\mu}\mathbf{A}’\cdot \nabla +\frac{e^2}{2\mu}\mathbf{A}’^2 -e\left(\frac{e}{2\mu} \mathbf{A}’^2(t)\right) \right]\Psi’(\mathbf{r},t) \ \label{velgauge} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi’(\mathbf{r},t) #

\left[ H_0 -i\hbar \frac{e}{\mu}\mathbf{A}’(t)\cdot \nabla \right]\Psi’(\mathbf{r},t) \end{gather} \es \eqref{velgauge}の表記からプライム無しのものに書き換えれば, \be\label{veldp} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) #

\left[ H_0 -i\hbar \frac{e}{\mu}\mathbf{A}(t)\cdot \nabla \right]\Psi(\mathbf{r},t) \ee と得られます. \eqref{veldp}が双極子近似における速度ゲージの表現です. ナブラは電子の質量の流れ$\mathbf{p}$に比例しているので \footnote{電磁場中の運動量は$\mathbf{p}-e\mathbf{A}$であり, 電子の質量が流れていく速度$\mathbf{p}$とは異なってしまうので運動量とは言えず, このような言い方になっています. 詳細は\cite{TY}をご覧ください.}, \be i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) #

\left[ H_0

• \frac{e}{\mu}\mathbf{A}(t)\cdot \mathbf{p}\right]\Psi(\mathbf{r},t) \ee とも考えることができます. 速度ゲージと呼ばれる所以は, 電磁場由来である$\mathbf{A}$と電子の速度（質量の流れ）$\mathbf{p}$の内積が相互作用項として表れていることから名づけられています

\subsubsection{長さゲージ (Length gauge)} 次に\eqref{as2}の場合を見てみます. ゲージ変換の任意性を \be \chi(\mathbf{r},t)= \mathbf{r}\cdot\mathbf{A}(t) \ee としてゲージ変換を行うと, \eqref{gaugetr}に従うプライムのついたポテンシャル, 波動関数は以下の通りになります. \bs \begin{empheq}[left = {\empheqlbrace ,}, right = {}]{align} \mathbf{A}(t)&=\mathbf{A}’(t)+\mathbf{A}(t) \nonumber\ &\to \mathbf{A}’(t)= \mathbf{0} \ 0&=\phi’(t)-\mathbf{r}\cdot\frac{\partial\mathbf{A}(t)}{\partial t} \nonumber\ &\to \phi’(\mathbf{r},t)= \mathbf{r}\cdot\frac{\partial\mathbf{A}(t)}{\partial t} \ \Psi(\mathbf{r},t)&=\Psi’(\mathbf{r},t)\exp\left[-\frac{ie}{\hbar}\mathbf{r}\cdot\mathbf{A}(t)\right] \end{empheq} \es これをシュレーディンガー方程式に代入して \bs \begin{gather} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) #

\left[ H_0 -i\hbar \frac{e}{\mu}\mathbf{A}\cdot \nabla +\frac{e^2}{2\mu}\mathbf{A}^2 -e\phi \right]\Psi(\mathbf{r},t) \ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi’(\mathbf{r},t) #

\left[ H_0 -i\hbar \frac{e}{\mu}\mathbf{0}\cdot \nabla +\frac{e^2}{2\mu}\mathbf{0}^2 -e\left(\mathbf{r}\cdot\frac{\partial\mathbf{A}(t)}{\partial t} \right) \right]\Psi’(\mathbf{r},t) \ \label{lengauge0} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi’(\mathbf{r},t) #

\left[ H_0 -e\mathbf{r}\cdot\frac{\partial\mathbf{A}(t)}{\partial t} \right]\Psi’(\mathbf{r},t) \end{gather} \es を得ます. 非常に良くない点として, \eqref{lengauge}の右辺第二項に プライムが付いていないゲージ変換を施す前の情報が入ってきています. しかし, 節\ref{secEBPA}で見たようにベクトルポテンシャルの時間微分は 電場に関係する量であることを思い出すと, もしかして電場で書けるのでは, と思い当たります. 電場はゲージ変換に対して不変ですので, ゲージ変換前であろうが後であろうが同じになるはずであり, 今の状況を解消してくれそうです. なので電場で書き換えてみましょう.

電場はゲージ変換に対して不変なのでどのように求めてもいいですが, ゆっくり計算すると \bs \ba \mathbf{E}(\mathbf{r},t) &=&-\nabla \phi(\mathbf{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf{A}(\mathbf{r},t) \ &=&-\nabla \phi’(\mathbf{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf{A}’(\mathbf{r},t) \ &=&-\nabla \mathbf{r}\cdot\frac{\partial\mathbf{A}(t)}{\partial t}-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf{0} \ &=&-\frac{\partial\mathbf{A}(t)}{\partial t} \ea \es と書けます. そのため, \eqref{lengauge}は$\mathbf{A}$と$\mathbf{A}’$が混在する形ではなく$\mathbf{E}$を用いて \be\label{lengauge} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) #

\left[ H_0 +e\mathbf{r}\cdot\mathbf{E}(t) \right]\Psi(\mathbf{r},t) \ee と求めることができます. \eqref{lengauge}が双極子近似における長さゲージ (Length gauge) の表現です. 長さゲージの由来は, 速度ゲージの時と似たように, 電磁場由来の$\mathbf{E}$と, 電子の長さ（位置）$\mathbf{r}$との内積が相互作用項として表れていることから, 名づけられています.

\clearpage \subsection{古典的なハミルトニアンからの導出} 古典的な考えからシュレーディンガー方程式を考えていくことも物理的直観を養う上で大切です. いくつかの量子現象は, 古典的現象との対応を考えることができるので量子現象を理解しやすくなります \footnote{特に解析力学で出てくるラグランジアン, ハミルトニアンは有用ですね.}.

ここでは双極子近似の長さゲージに出てくる結果\eqref{lengauge}を古典的な考えから導いてみます.

まずはローレンツ力を考えたときに磁場よりも電場の方が大きな影響を及ぼすことを示しましょう. その後, ローレンツ力が保存力であることを利用してポテンシャルを求め, それをシュレーディンガー方程式のポテンシャルに代入することで 双極子近似下における長さゲージのシュレーディンガー方程式を求めます.

電磁場中の電子に対するローレンツ力を考えます. 電場$\mathbf{E}$と磁場$\mathbf{B}$の中で, 電子が速度$\mathbf{v}$で運動するとき, 電子に働く力は \be \mathbf{F}(\mathbf{r},t)=-e(\mathbf{E}(\mathbf{r},t)+\mathbf{v}\times \mathbf{B}(\mathbf{r},t)) \ee と書けます. 原子核の電荷が$+Ze$であるボーアモデルを考えたときの, １電子原子の主量子数$n$に属する電子の速度の大きさ$v$は \be v=\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar n}=Z\alpha c\frac{1}{n} \ee です.ここで$\alpha=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c}$は微細構造定数です. 最大の速度を持つ時は$n=1$の時で \be v=Z\alpha c\approx\frac{Zc}{137} \ee です. また, 電磁波について \be \frac{|\mathbf{B}|}{|\mathbf{E}|}=\frac{1}{c} \ee が成立します.

主量子数$n=1$の電子に及ぼすローレンツ力について, $|\mathbf{E}|$と$|\mathbf{v}\times \mathbf{B}|$の大きさを比較してみます.計算すると \bs \ba |\mathbf{v}\times \mathbf{B}| &\leq& |\mathbf{v}| |\mathbf{B}| \ &\approx& \frac{Zc}{137} \cdot \frac{|\mathbf{E}|}{c} \ &=& \frac{Z}{137} \cdot |\mathbf{E}| \ea \es となるので, $|\mathbf{v}\times \mathbf{B}|$の項が無視できる時は, $\frac{Z}{137}$が小さいと見なせる時ということが分かります. つまり, ローレンツ力は$Z$が小さい時, 第二項を無視して \be \mathbf{F}(\mathbf{r},t)\approx -e\mathbf{E}(\mathbf{r},t) \ee と近似できます.

続いて波数ベクトル$\mathbf{k}$, 単一の角周波数$\omega$を持つ電磁波について考えてみます. つまり, 具体的に電場を \be \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=E0(\omega)\boldsymbol{\epsilon} \cos(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r}) \ee と考えます.ここで$E_0(\omega)$は角周波数$\omega$の振幅であり, $\boldsymbol{\epsilon} $は偏向ベクトルで$|\boldsymbol{\epsilon}|=1$を満たします. 量子力学で考えた双極子近似 (原子の大きさ$\ll$電磁波の波長)が適用できるとして $\mathbf{r}=0$の点で代表すると \be \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=E_0(\omega)\boldsymbol{\epsilon} \cos(\omega t-\delta\omega) \hspace{1em}\to\hspace{1em} \mathbf{E}(t) \ee となります. ここで$\delta_\omega$は適当な位相です. よってローレンツ力は空間の依存性を無視して \be \mathbf{F}(\mathbf{r},t)\approx -e\mathbf{E}(t) \ee と書けます. 右辺は位置に依存しないため, 保存力の条件である \be \nabla\times \mathbf{F}=0 \ee は自動的に満たされます.よって$\mathbf{F}$には$\nabla W=\mathbf{0}$を満たす スカラーポテンシャル$W$が存在することが分かるため, $W$を用いてローレンツ力を書き換えれば, \bs \ba \mathbf{F}&\approx&-e\mathbf{E}(t) \ &=&-\nabla [e \mathbf{r}\cdot\mathbf{E}(t)]\ &=&-\nabla W(t) \ea \es となります.ここで, $W(t)=e \mathbf{r}\cdot\mathbf{E}(t)$と置きました. ポテンシャルで書けているので, 量子力学においてはハミルトニアンに加えれば良さそうです. すなわち, \bs \begin{gather} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) #

\left[ H_0 +W(t) \right]\Psi(\mathbf{r},t) \ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) #

\left[ H_0 +e \mathbf{r}\cdot\mathbf{E}(t) \right]\Psi(\mathbf{r},t) \end{gather} \es となり, \eqref{lengauge}のように量子力学に従って導いた結果と一致します.

\clearpage \appendix %\def\thesection{Appendix \Alph{section}} \section{関数か演算子か}

ハミルトニアンの中に \be \nabla\cdot \mathbf{A} \ee という表記があった時, 実際に波動関数に作用させた場合に \bs \be (\nabla \mathbf{A})\cdot \psi \ee もしくは \be\label{AAn} \nabla (\mathbf{A}\cdot \psi) \ee \es でどちらで考えればよいか迷う場合があると思います.

ハミルトニアン演算子はあくまで演算子ですので, 式の右側から順に作用させていく表記である\eqref{AAn}の解釈が基本です. しかしながら, 波動関数には作用させず, 単に$\nabla$と$\mathbf{X}$との 内積$\nabla\cdot \mathbf{X}$を作用させたい場合の表記と区別がつかなくなってしまいます. この事を区別するため, 面倒でも括弧を多用すると多少改善できます.つまり, \be (\nabla\cdot \mathbf{A}) \ee と書いておきます.すると, \be (\nabla\cdot \mathbf{A})\psi \ee となります.もし何も括弧が無い場合, \be \nabla\cdot (\mathbf{A} \psi) \ee を意味することになります.

具体的にハミルトニアンの中に \be \frac{\partial}{\partial x}x \ee というものを考えてみましょう.これを波動関数に作用させると表記上は \be \frac{\partial}{\partial x}x\psi \ee となるわけです. 何も思わず書いてしまうと, \be \frac{\partial}{\partial x}\left(x\psi\right) = \psi + \left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) \ee を意味しますので, \be \left(\frac{\partial}{\partial x}x\right)\psi = \psi \ee を意図したいときは括弧をつけてミスリードを防ぎましょう.

しかしながら, 電磁場中のシュレーディンガー方程式 \be i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) #

\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +i\hbar \frac{q}{2m}(\mathbf{A}\cdot \nabla+\nabla\cdot \mathbf{A}) +\frac{q^2}{2m}\mathbf{A}^2 +q\phi \right]\Psi(\mathbf{r},t) \ee に出てきているように, 別の用途で$(\mathbf{A}\cdot \nabla+\nabla\cdot \mathbf{A})$とまとめられている場合に区別をすることはできません.この場合は \be (\mathbf{A}\cdot \nabla+\nabla\cdot \mathbf{A})\psi = \mathbf{A}\cdot (\nabla\psi)+\nabla\cdot (\mathbf{A}\psi) \ee の意味ですので, 括弧は多少は改善できますが, 完全ではないことは注意しておきましょう.基本的には演算子であるか, 関数であるかを理解して進めていかなければなりません.不安でしたら, 面倒でも計算をしてどちらの表記が整合性が取れるかを確認しておけば安心です.

\clearpage

2.4. 電磁場中の荷電粒子のハミルトニアン #

ここでは簡単に, 電磁場中の荷電粒子のハミルトニアンがどのように考えられてきたか導きます. 更なる詳細は\cite{BJ}のAppendix 6をご覧いただければと思います. 以下の検算はしていません.

電場$\mathbf{E}$と磁場$\mathbf{B}$の中で, 電荷$q$を持つ荷電粒子が速度$\mathbf{v}$で運動するとき, 荷電粒子に働くローレンツ力$F$は \be \mathbf{F}(\mathbf{r},t)=q(\mathbf{E}(\mathbf{r},t)+\mathbf{v}\times \mathbf{B}(\mathbf{r},t)) \ee と書けます.スカラーポテンシャル$\phi$とベクトルポテンシャル$\mathbf{A}$を用いて書き換えれば, \be \mathbf{F}(\mathbf{r},t)=q\left[ -\nabla \phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} +\mathbf{v}\times \bigl(\nabla\times \mathbf{A}\bigr)\right] \ee となりますので, 荷電粒子の運動方程式は \be m\frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2}=q\left[ -\nabla \phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} +\mathbf{v}\times \bigl(\nabla\times \mathbf{A}\bigr)\right] \ee です.このローレンツ力$\mathbf{F}$を作り出すラグランジアン$L$を考えてみますと, \be L=\frac{1}{2}mv^2 -q\phi +q\mathbf{v}\cdot \mathbf{A} \ee となります.一般化座標$\mathbf{q}=(q_1, q_2, q_3)$をデカルト座標系の$x, y, z$に対応させて考えます. 一般化運動量$\mathbf{p}=(\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \mathbf{p}_3)$は$L$の一般化座標に対する偏微分, つまり \be pi =\frac{\partial L}{\partial q_i} ,~~~(i=1,2,3) \ee で与えられるので, 実際に計算すると, \be \mathbf{p} =m\mathbf{v}+q\mathbf{A} \ee が得られます. あとはラグランジアンからハミルトニアン$H$への変換を行います.$H$は, \be H=\sum{i=1}^{3}p_i \dot{q}_i -L \ee で与えられるので, これを計算すれば, \be H=\frac{1}{2m}(\mathbf{p}-q\mathbf{A})^2 + q\phi \ee が得られます.

2.5. ゲージ変換の証明 \label{Prgauge} #

ここでは\eqref{emtdse}より, ゲージ変換(\ref{gaugetr})を適用すると\eqref{emtdse2}になることを示します. 再掲しておくと, シュレーディンガー方程式は \be\label{emtdsea} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) #

\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +i\hbar \frac{q}{2m}(\mathbf{A}\cdot \nabla+\nabla\cdot \mathbf{A}) +\frac{q^2}{2m}\mathbf{A}^2 +q\phi \right]\Psi(\mathbf{r},t) \ee です.ゲージ変換は \bs \begin{empheq}[left = {\empheqlbrace ,}, right = {}]{align} \mathbf{A}(\mathbf{r},t)&=\mathbf{A}’(\mathbf{r},t)+\nabla \chi(\mathbf{r},t) \ \phi(\mathbf{r},t)&=\phi’(\mathbf{r},t)-\frac{\partial}{\partial t}\chi(\mathbf{r},t) \ \Psi(\mathbf{r},t)&=\Psi’(\mathbf{r},t)\exp\left[i\frac{q}{\hbar}\chi(\mathbf{r},t)\right] \end{empheq} \es ですので, まず左辺を計算して, 右辺を計算します. 以降面倒ですので, $\mathbf{A}(\mathbf{r},t)$などを$\mathbf{A}$とだけで記述します.

左辺は \bs \ba \label{lhs0} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi &=& i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \left[\Psi’\exp\left(i\frac{q}{\hbar}\chi\right)\right]\ &=& i\hbar\frac{\partial\Psi’}{\partial t} -q\frac{\partial\chi}{\partial t}\Psi’ \exp\left(i\frac{q}{\hbar}\chi\right) \ea \es となります. 右辺は一つずつ注目して解いていきます. 指数関数の中身は微分しても変わらないので, 式が長くなる時は$\exp{}\equiv\exp\left(i\frac{q}{\hbar}\chi\right)$と書いて進みます. それぞれ, \bs \ba \mathbf{A}\cdot (\nabla \Psi) &=&(\mathbf{A}’+(\nabla\chi))\cdot \left(\nabla \left[ \Psi’\exp\left(i\frac{q}{\hbar}\chi\right)\right]\right) \ &=&(\mathbf{A}’+(\nabla\chi))\cdot \left[ \exp{}\cdot(\nabla\Psi')

• i\frac{q}{\hbar}\cdot \Psi’\cdot (\nabla\chi)\cdot \exp{} \right] \ &=& \mathbf{A}’ (\nabla\Psi’) \exp{} +i\frac{q}{\hbar}\mathbf{A}’ (\nabla\chi)\Psi’ \exp{} \nonumber \ &&\hspace{3em}+(\nabla\chi) (\nabla\Psi’)\exp{}
• i\frac{q}{\hbar}(\nabla\chi)^2\Psi’ \exp{} \ea \es と \bs \ba \nabla\cdot( \mathbf{A}\Psi) &=&\nabla\cdot \left[ (\mathbf{A}’+(\nabla\chi))\Psi’\exp\left(i\frac{q}{\hbar}\chi\right) \right] \ &=&\nabla\cdot \Bigl( \mathbf{A}’\Psi’\exp{}+(\nabla\chi)\Psi’\exp{} \Bigr) \ &=& \nabla(\mathbf{A}’ \Psi’) \exp{} +i\frac{q}{\hbar}\mathbf{A}’ (\nabla\chi)\Psi’ \exp{} \nonumber \ &&+ (\nabla^2\chi)\Psi’ \exp{} +(\nabla\chi)(\nabla\Psi’)\exp{} +i\frac{q}{\hbar}(\nabla\chi)^2\Psi’ \exp{} \ea \es と求められます. よって右辺の以下の演算子は \ba\label{rhs1} &&i\hbar\frac{q}{2m}\left(\mathbf{A}\cdot \nabla +\nabla\cdot \mathbf{A}\right)\nonumber \ &=&i\hbar\frac{q}{2m}\left(\mathbf{A}’\cdot \nabla +\nabla\cdot \mathbf{A}’\right) +i\hbar\frac{q}{2m}(\nabla^2\chi) +i\hbar\frac{q}{m}(\nabla\chi)\cdot \nabla -\frac{q^2}{m}\Bigl(\mathbf{A}’\cdot (\nabla\chi)+(\nabla\chi)^2\Bigr)\nonumber \ \ea と計算できます. 更に, 運動エネルギーの項は \bs \ba\label{rhs0} -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \left[\Psi’\exp\left(i\frac{q}{\hbar}\chi\right)\right] &=&-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla \left( (\nabla\Psi’)\exp{} + i\hbar\frac{q}{m}(\nabla\chi) \Psi’ \exp{} \right)\ &=&\exp{}\cdot \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi’ -i\hbar\frac{q}{m}(\nabla\Psi’)(\nabla\chi) -i\hbar\frac{q}{2m}\Psi’ (\nabla^2\chi) +\frac{q^2}{2m}\Psi’ (\nabla\chi)^2 \right]\nonumber \ \ea \es となります. 残りは$\mathbf{A}^2\Psi$ですので, \bs \ba\label{rhs2} \mathbf{A}^2 \Psi &=& \left[\mathbf{A}’(\mathbf{r},t)+(\nabla \chi(\mathbf{r},t))\right]^2 \Psi’ \exp{} \ &=&\left[\mathbf{A}’^2+\mathbf{A}’\cdot (\nabla\chi)+(\nabla\chi)\cdot \mathbf{A}’ + (\nabla\chi)^2\right]\Psi’ \exp{} \ &=&\left[\mathbf{A}’^2+ 2\mathbf{A}’\cdot (\nabla\chi) + (\nabla\chi)^2\right]\Psi’ \exp{} \ea \es となります. ここで後ろにかかる演算子はないので, \be \mathbf{A}’\cdot (\nabla\chi)+(\nabla\chi)\cdot \mathbf{A}’ =2\mathbf{A}’\cdot (\nabla\chi) \ee を用いました.

全てまとめれば, \eqref{emtdsea}は, 左辺\eqref{lhs0}と右辺 \eqref{rhs0}, \eqref{rhs1}, \eqref{rhs2}より, \bs \scriptsize \ba &&\left[ i\hbar\frac{\partial\Psi’}{\partial t} -q\frac{\partial\chi}{\partial t}\Psi’\right] \exp{} =\ &&\hspace{2em} \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi’ -i\hbar\frac{q}{m}(\nabla\Psi’)(\nabla\chi) -i\hbar\frac{q}{2m}\Psi’ (\nabla^2\chi) +\frac{q^2}{2m}\Psi’ (\nabla\chi)^2 \right]\exp{}\ &&\hspace{2em} +\left[ i\hbar\frac{q}{2m}\left(\mathbf{A}’\cdot \nabla +\nabla\cdot \mathbf{A}’\right) \Psi’ +i\hbar\frac{q}{2m}(\nabla^2\chi) \Psi’ +i\hbar\frac{q}{m}(\nabla\chi)\cdot (\nabla \Psi’) -\frac{q^2}{m}\Bigl(\mathbf{A}’\cdot (\nabla\chi)+(\nabla\chi)^2\Bigr)\Psi’ \right]\exp{}\ &&\hspace{2em} +\frac{q^2}{2m}\left[\mathbf{A}’^2 \Psi’+2\mathbf{A}’\cdot (\nabla\chi) \Psi’ + (\nabla\chi)^2\Psi’\right] \exp{} \ &&\hspace{2em} +q\left[\phi’ - \frac{\partial \chi}{\partial t}\right]\Psi’ \exp{} \ea \normalsize \es となり, うまい具合に消えてくれますので, \be i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi’(\mathbf{r},t) #

\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +i\hbar \frac{q}{2m}(\mathbf{A}’\cdot \nabla+\nabla\cdot \mathbf{A}’) +\frac{q^2}{2m}\mathbf{A}’^2 +q\phi’ \right]\Psi’(\mathbf{r},t) \ee となります.よって, ゲージ変換(\ref{gaugetr})に対してシュレーディンガー方程式は不変です.

…$\chi(\mathbf{r},t)$は実関数だと思っておりましたが, 別にそんなことはなさそうですね. 証明の間に実関数だけであるという条件を見直したら使っていないので, 複素関数でも良さそうです.

2.6. ベクトルポテンシャルは存在するか? #

ニュートン力学の保存力とポテンシャルの関係の類推として、静電場中の議論から生じるスカラーポテンシャル$\phi$が存在するのはそれほど不思議ではないと思われますが, ベクトルポテンシャル$\mathbf{A}$という, 任意性を持つベクトル量が物理的に実在しているとはなかなか納得できないと思われます。

そのため、$\phi, \mathbf{A}$の組み合わせで考える方法は単なる数学的なトリックに過ぎず、 $\mathbf{E}, \mathbf{B}$の表現が本質ではないかと歴史的に思われてきました。

つまり, 別に物理的に意味はないけど数学的に扱いやすいから $\mathbf{A}$を登場させた考えでもいいよね, 思われていたのです。

ですがその後, Aharonov-Bohm効果 (詳細は延べません) が実験的に確認された(外村彰(1986)⁷)ことにより, 現実の世界では$\mathbf{A}$が無ければ説明できない現象が存在することが実証され, $\mathbf{A}$は本当にあるんだ, となりました.

2.7. ローレンスゲージに変換した結果, ベクトルポテンシャル, スカラーポテンシャルが示すもの #

ローレンスゲージとは, \be\label{lg} \nabla\cdot\mathbf{A}+\varepsilon \mu \frac{\partial \phi}{\partial t}=0 \ee を満たすように$\chi(\mathbf{r},t)$を選ぶゲージです. このローレンスゲージにおいて, 電磁場がどのように表されているか調べます. \bs \begin{empheq}[left = {\empheqlbrace ,}, right = {}]{align} &\nabla^2 \phi + \frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot \mathbf{A} = -\frac{\rho}{\varepsilon} \ &\nabla^2 \mathbf{A}-\varepsilon\mu \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2}

• \nabla\left(\varepsilon\mu \frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot \mathbf{A}\right)=-\mu \mathbf{j} \end{empheq} \es 次の式への導出は省きますが, \eqref{lg}の$\mathbf{A}$の含まれる項か$\phi$を含む項かで式から消去します. すると, 対称性の良い以下の非斉次の方程式 \bs \begin{empheq}[left = {\empheqlbrace ,}, right = {}]{align} &\nabla^2 \phi -\varepsilon \mu \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho(\mathbf{r},t)}{\varepsilon} \ &\nabla^2 \mathbf{A}-\varepsilon\mu \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} =-\mu \mathbf{j}(\mathbf{r},t) \end{empheq} \es を得ます. さて, ローレンスゲージかつ真空中の場合に, シュレーディンガー方程式はどのようになるでしょうか. 真空中$\rho(\mathbf{r},t)=0, \mathbf{j}=\mathbf{0}$を仮定すれば, \bs \begin{empheq}[left = {\empheqlbrace ,}, right = {}]{align} &\nabla^2 \phi -\varepsilon \mu \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = 0\ &\nabla^2 \mathbf{A}-\varepsilon\mu \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} =0 \end{empheq} \es となり, $\phi, \mathbf{A}$の解は時間, 空間のそれぞれについて二階微分となります. これは古典的な波動方程式と同等であり, 解は$\sin, \cos$の形の線形結合で書けるでしょう.

これを解いた結果$\phi, \mathbf{A}$を用いてシュレーディンガー方程式に代入すれば済むのですが, 真空中であっても簡単に書くことができませんので, 式は \be i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) #

\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +i\hbar \frac{q}{2m}(\mathbf{A}\cdot \nabla+\nabla\cdot \mathbf{A}) +\frac{q^2}{2m}\mathbf{A}^2 +q\phi \right]\Psi(\mathbf{r},t) \ee のままであり, ここで$\phi, \mathbf{A}$は以下の方程式を満たすものとして定義されます. \bs\label{lg2} \begin{empheq}[left = {\empheqlbrace ,}, right = {}]{align} &\nabla^2 \phi -\varepsilon \mu \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = 0 \label{l0}\ &\nabla^2 \mathbf{A}-\varepsilon\mu \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} =0\label{l1}\ &\nabla\cdot\mathbf{A}+\varepsilon \mu \frac{\partial \phi}{\partial t}=0 \label{l2} \end{empheq} \es これ以上に簡単になることはありません. 空間に電荷密度が無いからと言って, ここまでしか進められないのであればあまり嬉しくはありません.

なので, 真空中の電磁場との相互作用を考えてシュレーディンガー方程式 を立てたい場合は, クーロンゲージの方が簡便になるでしょう. クーロンゲージはローレンスゲージの特別な場合 ($\phi=\phi(\mathbf{r})$となるような$\chi(\mathbf{r},t)$を選ぶ場合)ですが, これを選ぶ価値は多大にあります.

\eqref{lg2}を解く方法だけ述べておきますが, $\phi, \mathbf{A}$を求めてから, \eqref{l0}, \eqref{l1}をまず解いて, 得られた$\phi, \mathbf{A}$が正しいかどうか\eqref{l2}で確認すればよいのです. そうして\eqref{l2}を満たす$\phi, \mathbf{A}$であることが分かれば, それが解となります.

\section{クーロンゲージかつ双極子近似下における$\phi, \mathbf{A}$\label{Crhoj}} 電磁波$\mathbf{E},\mathbf{B}$の空間依存性が無いとき, $\phi, \mathbf{A}$も空間依存性がなくなることを示しましょう. これは$\mathbf{E},\mathbf{B}$と各ポテンシャルの関係(\ref{EBPA})より分かります. つまり, $\mathbf{E}=\mathbf{E}(t),~\mathbf{B}=\mathbf{B}(t)$である時, \bs \begin{empheq}[left = {\empheqlbrace ,}, right = {}]{align} \mathbf{E}(t)&=-\nabla \phi(\mathbf{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf{A}(\mathbf{r},t) \label{EBPAtmpE}\ \mathbf{B}(t)&=\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r},t) \label{EBPAtmpB} \end{empheq} \es なので, \eqref{EBPAtmpB}より $\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\mathbf{A}(t)$でなければ$\mathbf{B}$に位置依存性が現れてしまいます \footnote{$\nabla\times\nabla f=0$なので, $\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\mathbf{A}(t)+\nabla f(\mathbf{r})$の可能性がありますが, この自由度はまさにゲージ変換の任意性$\chi$ですので, 現在の対象$\mathbf{A}$とは別の話です. 結局$\mathbf{A}$自体には位置依存性は出てこないです. …いや嘘かもしれません. 多くの場合で$\mathbf{A}, \phi$に空間依存性はないような形式で書かれているため, 最後の結論は正しいと自信を持っていますが, 導出過程に間違いがあるかもしれません.}.

残るは$\phi$に空間依存性は現れないのか？ということですが, \eqref{EBPAtmpE}で位置依存性が出てくるならば, $\nabla \phi(\mathbf{r},t)=0$ですが, ポテンシャルの基準を無限遠でゼロ, つまり$\phi|_{|\mathbf{r}|\to\infty}=0$の境界条件を加えれば, 時間に依存するとしても $\phi(\mathbf{r},t)=0$として良いことが分かります. 以上から, $\phi=\phi(t)=0, \mathbf{A}=\mathbf{A}(t)$と書けることが分かります.

\clearpage \section{双極子近似への移行に関する数式 \label{appTlor}} 微分の連鎖律(chain rule)より, 合成関数のテーラー展開は \be f(g(x))=f(g(a)) + (x-a)\frac{dg(x)}{dx}\biggl|{x\to a}\cdot \frac{d f(g(x))}{d(g(x))}\biggl|{x\to a}+O((x-a)^2) \ee なので, $g(x)=\omega t-kx,~a=0$の場合, \begin{gather} \frac{dg(x)}{dx}\biggl|{x\to a} = -k\bigl|{x\to a}=-k\ \frac{d f(g(x))}{d(g(x))}\biggl|_{x\to a}= \frac{d}{d(\omega t)}f(\omega t)=\frac{1}{\omega} \frac{d f(\omega t)}{dx} \end{gather} となります. よって, \ba f(\omega t-kx) &=&f(\omega t)+x\left(-k\right)\left(\frac{1}{\omega}\cdot \frac{d f(\omega t)}{dt}\right)+O(x^2) \ &=&f(\omega t)-\frac{k x}{\omega}\frac{d f(\omega t)}{dt}+O(x^2) \ea が得られます. 同様にベクトル関数$\mathbf{X}(\omega t -\mathbf{k}\mathbf{r})$を$|\mathbf{r}|\to 0$で展開すると \be \mathbf{X}(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r}) =\mathbf{X}(\omega t)

• \frac{\mathbf{k}\mathbf{r}}{\omega}\frac{d \mathbf{X}(\omega t)}{dt} +O(|\mathbf{r}|^2) \ee となります.

\clearpage \section{ ローレンスゲージ (Lorenz gauge)\label{LL}} LorentzとLorenzさんがいます. 例えば, Lorentz-Lorenz equationなんて方程式があります.

\begin{itemize} \item ルードヴィヒ・ローレンス（Ludvig Valentin Lorenz)\ 数学者・物理学者\ デンマーク\ ローレンスゲージ\ ローレンス・ミー理論\ (混同を避けるため, ローレンスと呼ばれることが割と多く, 本稿でもそれに倣っています.)

\item ヘンドリック・アントーン・ローレンツ（Hendrik Antoon Lorentz)\ 物理学者, ノーベル物理学賞受賞(1902年)\ オランダ\ ローレンツ力\ ローレンツ変換 (相対論でよく使用される座標変換)\ ローレンツ不変 \end{itemize}

\clearpage \begin{thebibliography}{99} \bibitem{BJ} B. H. Bransden and C. J. Joachain, 2003, {\it"Physics of Atoms and Molecules second edition"} , Prentice Hall, ISBN 0-582-35692-X \bibitem{IK} 石川顕一, 『高強度場現象・アト秒科学（１） 高強度レーザー場中の原子のイオン化』, \url{https://www.nii.ac.jp/qis/first-quantum/symposium/2011/pdf/ishikawa01_summerSchool2011.pdf} \bibitem{TY} 高橋康著, 『量子電磁気学を学ぶための電磁気学入門』, 講談社, ISBN 978-4-06-526456-0 \end{thebibliography} \end{document}

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