1. 空気の特徴 #

空気に関係する物理量は、下記の通りの関係性を持ちます。

%%{init: {"flowchart": {"defaultRenderer": "elk"}} }%% %%{init: { 'flowchart': { 'curve': 'cardinal' } } }%% flowchart LR phi[Relative humidity
ϕ] T[Temperature
T] H[Pressure of dry air
H] c[Speed of sound in dry air
c] rho[Dry air density
ρ] eta[Viscosity of dry air
η] E[Saturation vapor
pressure of air
E] p[Vapor pressure of air
p] rhow[Density of air
containing vapor at pressure p
ρ_w] cw[Speed of sound in air
containing vapor at pressure p
c_w] gamma[Heat capacity ratio
of dry air
γ] gammaw[Heat capacity ratio of air
containing vapor at pressure p
γ_w] T:::Base o--> rho:::Dryair H:::Dryair o--> rho phi:::Wetair o--> p:::Wetair T o--> E:::Wetair E --> p rho --> rhow:::Wetair p --> rhow H o--> rhow T o--> c:::Dryair p --> cw H o--> cw c --> cw:::Wetair T o--> eta:::Dryair phi o-.-> eta gamma:::Dryair o-.-> cw gammaw:::Wetair o-.-> cw classDef Base fill:#f8f8f7,stroke:#c0c6c9,stroke-width:1px classDef Wetair fill:#eaf4fc,stroke:#84a2d4,stroke-width:1px classDef Dryair fill:#fef4f4,stroke:#c97586,stroke-width:1px %%classDef Depth3 fill:#d6e9ca,stroke:#769164,stroke-width:1px

実線は、矢印の先の物理量を計算するために必要な物理量です。 破線は、矢印の先の物理量を計算するためにあまり影響を及ぼさない物理量です。

1.1. 乾燥空気の密度$\rho$ #

乾燥した空気の密度は下記の式で与えられます¹。

\begin{align} \rho= \frac{1.293}{1+0.00367\cdot T} \cdot \frac{H}{101325} \end{align}

• 記号
  • $\rho$ : 乾燥空気の密度 (kg·m^-3)
  • $T$ : 温度 (℃)
  • $H$ : 乾燥空気の圧力 (Pa)

1.2. 乾燥空気中の音速$c$ #

乾燥空気中の音速は下記の式で与えられます²³。

\begin{align} c =20.05\sqrt{T} \end{align}

• 記号
  • $c$ : 乾燥空気中の音速 (m·s^-1)
  • $T$ : 温度 (K)
• 備考
  • 音速は圧力にほとんど依存しません

1.3. 乾燥空気の粘性率$\eta$ #

乾燥空気の粘性率は、下記の通り与えられます⁴。

\begin{align} \eta_2=\eta_1\left(\frac{T_1+C}{T_2+C}\right)\cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{3/2} \end{align}

• 記号

  • $T_1, T_2$ : 温度 (K)
  • $\eta_1$ : 温度$T_1$における粘性率 (Pa·s)
  • $\eta_2$ : 温度$T_2$における粘性率 (Pa·s)
  • $C$ : サザランドの定数 (無次元量. 空気の場合$C=117$)

• 備考

  • 粘性率は圧力にはほとんど無関係です
  • 空気の場合, 1気圧, 気温20度 (約293K) における乾燥空気の粘性率$18.2\times 10^{-6}\mathrm{(Pa\cdot s)}$より求められます
  • 常温付近ではどうやら湿度の依存性もほとんど無いようです⁵。

1.4. 空気の飽和水蒸気圧$E$ #

空気の飽和水蒸気圧は、下記のTetensの式によって与えられます⁶。

\begin{align} E = 100\times 6.1078\times 10^{\frac{7.5 \cdot T }{T+237.3}} \end{align}

より正確には、下記のWagnerによる飽和水蒸気圧を求める式で計算されます⁷。

\begin{align} E = p_c \exp{\left[\frac{T_c}{T}\left(a_1\theta+a_2\theta^{1.5}+a_3\theta^3+a_4\theta^{3.5}+a_5\theta^{4}+a_6\theta^{7.5}\right)\right]} \end{align}

• 記号

  • $E$ : 空気の飽和水蒸気圧 (Pa)
  • $T$ : 温度 (℃)
  • $p_c = 22~064~000$ : 臨界圧 (Pa)
  • $T_c = 373.946$ : 臨界温度 (℃)
  • $\theta = 1-(T+273.15)/T_c$
  • $a_1 = -7.859 517 83$
  • $a_2 = 1.844 082 59$
  • $a_3 = -11.786 649 7$
  • $a_4 = 22.680 741 1$
  • $a_5 = -15.961 871 9$
  • $a_6 = 1.801 225 02$

• 備考

  • 水が沸騰する温度100℃で、大気圧101325Paに近くなります。

1.5. 空気の水蒸気圧$p$ #

\begin{align} p=\phi E \end{align}

• 記号
  • $p$ : 空気の水蒸気圧 (Pa)
  • $\phi$ : 相対湿度 (無次元量, 0から1の実数値)
  • $E$ : 空気の飽和水蒸気圧 (Pa)

1.6. 圧力$p$の水蒸気を含んだ空気の密度$\rho_w$ #

水蒸気を含んだ空気の密度は下記の式で与えられます¹。

\begin{align} \rho_w=\rho\left(1-0.378\frac{p}{H}\right) \end{align}

• 記号
  • $\rho$ : 乾燥空気の密度 (kg·m^-3)
  • $p$ : 空気の水蒸気圧 (Pa)
  • $H$ : 乾燥空気の圧力 (Pa)

1.7. 圧力$p$の水蒸気を含んだ空気中の音速$c_w$ #

水蒸気を含んだ空気中の音速は下記の式で与えられます⁸。

\begin{align} c_w=\dfrac{c}{\sqrt{1-\dfrac{p}{H}\left(\dfrac{\gamma_w}{\gamma}-0.622\right)}} \end{align}

$\gamma_w\approx\gamma$として近似する場合、

\begin{align} c_w=c\sqrt{\frac{\rho}{\rho_w}} \end{align}

• 記号
  • $c$ : 乾燥空気中の音速 (m·s^-1)
  • $p$ : 空気の水蒸気圧 (Pa)
  • $H$ : 乾燥空気の圧力 (Pa)
  • $\gamma$ : 乾燥空気の比熱比（定圧比熱$C_p$と定積比熱$C_V$との比$\gamma=C_p/C_V$） (無次元量)
  • $\gamma_w$ : 水蒸気を含んだ空気の比熱比 (無次元)
• 備考
  • $\gamma$は、温度・圧力に依存せず, 空気の場合ほぼ1.4です。
  • 100度で相対湿度100%の場合でも$\gamma_w=1.33$であり、$\gamma_w/\gamma \approx 1$としても余り差し支えないかと思います⁹。

2. 参考文献 #