縮約はアインシュタインが一般相対性理論を説明するために最初に導入した数式のお約束です。
これが考え出されたのはアインシュタインが

和記号を書くのに飽きた

からであると予想されます。
このお約束なんですが，大学の物理科ではあまり触れられない癖に教授たちは常識のように語るので，
身につけておいて損はないですね。

さて，あるテンソル量\(A_{i}\)と\(B_{i}\)があったとしましょう。
この二つの縮約をとるということは，同じテンソル同士の和を取る，という意味になります。
アインシュタインの記法に則れば次のように書きます。

\(
A_{i}B^{i}=\sum_{i}{A_{i}B_{i}}
\)

ようするに同じ添え字が右下と右上に来たら和をとりましょうという約束です。
上の式は内積を表していることがわかります。
これを使うと外積の\(i\)成分も次のようになります。

\(
(A \times B)_i= \epsilon_{i,j,k}A^{j}B^{k}
\)
\(
\epsilon_{i,j,k}= 1 ~~ {\rm at} ~~ i,j,k=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)
\)
\(
\epsilon_{i,j,k}= -1 ~~ {\rm at} ~~ i,j,k=(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)
\)
\(
\epsilon_{i,j,k}= 0 ~~ {\rm at} ~~ i,j,k=(otherwise)
\)

この\(\epsilon_{i,j,k}\)をレヴィチビタの完全反対称テンソルといいます。