バレル内部でのBB弾の方程式

バレル内部でのBB弾の運動方程式です。

目的は、

BB弾は何秒間バレル内部に存在しているのか?
バレルが長いと減速になりうるのか?

を知ることです。詳細は弾道計算本をご覧ください。

弾道計算(BB弾)の理論
弾道計算(BB弾)の結果
弾道計算の結果2, 比較と詳細データ
弾道計算(BB弾)のコード(fortran90)
バレル内部でのBB弾の方程式←今ここ


電動ガンの場合です。
バレル内部1
空気抵抗は初速0[m/s]から90[m/s]前後にまで加速されるわけですから、空気抵抗の粘性抵抗、慣性抵抗どちらの項も無視することはできないでしょう。

空気の漏れも考えます。

この条件下では、バレル内部の運動方程式は以下のように導くことができます。

内部圧力変化と力


ピストン-BB弾間の圧力変化による力\(F_V(t)\)は、
\(
F_V(t)=S\cdot P(t)
\)

と書けます。ここで\(P(t)\)はピストン-BB弾間の内部圧力です。
\(P(t)\)は、断熱変化を仮定すると、ピストン-BB弾間体積\(V(t)\)を用いて
\(
P(t)V^{7/5}(t)=\text{const}
\)

の関係があります。体積\(V(t)\)は
\(
V(t)=x(t)S_b-x_0(t)S_s
\)

と書けます。ここで、ピストンの位置による時間変化を\(x_0(t)\)、BB弾の位置を\(x(t)\)、バレルの断面積を\(S_b\)、シリンダーの断面積を\(S_s\)としました。
この式は時刻に依存せずに決まるので、時刻\(t=0\)の時に大気圧\(P_0\)で、体積\(V_0\)であれば、任意の時刻での圧力\(P(t)\)は
\(
\displaystyle P(t)=P_0 \left(\frac{V_0}{V(t)}\right)^{7/5}
\)

と書けます。

空気の漏れについて


十分短い時間の間、時刻\(t\)において内部圧力\(P(t)\), 空気の密度\(\rho\)とすると、漏れ出る空気の速度\(v(t)\)はベルヌーイの定理から
\(
\begin{align}
P(t)&=\frac{1}{2}\rho v(t)^2+P_0 \nonumber \\
&\to v(t)=\pm \sqrt{\frac{2}{\rho}(P(t)-P_0)}
\end{align}
\)
が成立するとします。厳密には、ピストンの速度は漏れ出る空気の速度に対して無視できるほど小さい、という仮定の下で成立します。漏れ出る流量\(Q\)は、バレル-BB弾の隙間の断面積\(A\)、実験とのズレを調節する無次元の流量係数\(c’\)を用いて\(Q=c’ A v(t)\)と書けます。
また、断熱過程を圧力-体積の関係を用いたいので、漏れ出る空気はBB弾-ピストン間の体積の増加として扱います。

フルシリンダーの場合の運動方程式


その他、空気抵抗による力を入れると、BB弾の位置\(x(t)\), ピストンの位置\(x_0(t)\), 体積\(V(t)\)の運動方程式は
\(
\begin{align}
m\frac{d^2}{dt^2}x(t)&=\left[P(t)-P_0\right]S_b-\left(6\pi \eta R |v(t)|+\frac{1}{2}C_d \rho \pi R^2 |v(t)|^2\right)\frac{v(t)}{|v(t)|} \label{bbin1}\\
m_s\frac{d^2}{dt^2}x_0(t)&=-k\left[x_0(t)-x_B-l\right]-[P(t)-P_0]S_s -F_f\label{bbin2} \\
\frac{d}{dt}V(t)&=v(t)S_b-v_0(t)S_s+c'(S_b-\pi R^2)\mathrm{sgn}(P(t)-P_0)\sqrt{\frac{2}{\rho}|P(t)-P_0|} \label{bbin3}
\end{align}
\)
と導くことが出来ます。

ここで、\(P_0\)は大気圧、\(\eta\)は粘性率、\(R\)はBB弾の半径、\(C_d\)は抗力係数、\(\rho\)は空気の密度, \(S_b\)はバレルの断面積、\(S_b\)はシリンダーの断面積、\(k\)はピストンのばね定数、\(l\)はばねの自然長、\(F_f\)はピストン-シリンダーの摩擦、\(v(t),v_0(t)\)はそれぞれBB弾の速度、ピストンの速度を意味します。

空気抵抗に関する詳細は球体の空気抵抗と係数をご覧ください。

ここで1つ言えることは、外部と内部の圧力が一定になる最適なバレル長というものが存在する、ということです。

さて、計算結果はこのページには載せません。弾道計算本として計算結果をまとめた本を出しているので、そちらをご参照ください。本の詳細については弾道計算本の自家通販をご覧ください。

補遺


補遺1
理想気体として扱える条件は、
低い気圧(分子の数が少なく、衝突等が無視できる)かつ高い温度(分子間力が分子の運動エネルギーに比べて無視できる)
です。
どうやら実在気体では10気圧以下、室温以上でこの条件は良く満たされ、理想気体とのずれは1%以内のようです[1]。
[1]を引用すると、

一般に,沸点の低い酸素・窒素・水素・ヘリウム等は,室温またはそれ以上の温度で10atm以下の圧力の場合,理想気体の値の1%以内で理想気体に近い性質を示す。

とあります。ピストンで空気が圧縮されたとき、BB弾とピストン間の圧力が10気圧以上にならなければ良い近似だと言えるでしょう。

参考文献


[1] 実在気体 -第2節 気体の状態方程式
[2]PERFECT HIT -TOKYO MARUI

『集弾性アップへの道』 BB弾とバレル内部に隙間があることが写真で確認できます。


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