1/(x^n)のフーリエ変換

\(\frac{1}{x}\)のフーリエ変換から\(\frac{1}{x^n}\)のフーリエ変換を導けます。
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-ikx}dx =-\pi i ~\text{sgn}(k)
\end{align}
\)

(導出は\(\frac{1}{x}\)のフーリエ変換へ)

部分積分を用いると\(\frac{1}{x^2}\)のフーリエ変換
\(
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}\left(\frac{1}{-ik}e^{-ikx}\right)’dx \\
&=\left[\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{-ik}e^{-ikx}\right]_{-\infty}^{\infty} -\frac{1}{ik}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2}e^{-ikx} dx
\end{align}
\)
第一項はゼロになります。第二項と残りの項と\(1/x\)のフーリエ変換の右辺が等しいので、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2}e^{-ikx} dx =-\pi k ~\text{sgn}(k)
\end{align}
\)
が得られます。
これを繰り返すことで\(\frac{1}{x^n}\)のフーリエ変換
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^n}e^{-ikx}dx &=-\pi i \frac{(-ik)^{n-1}}{(n-1)!}~\text{sgn}(k)
\end{align}
\)

が導かれます。

1/xのフーリエ変換

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-ikx}dx =-\pi i ~\text{sgn}(k)
\end{align}
※ただし、\(x=0\)での値は定義しない。また、\(\text{sgn}(x)\)は符号関数


実軸上の積分は複素平面の上から近づいた値と下から近づいた値の平均をとって定めるとします。すなわち、
\(
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-ikx}dx \nonumber \\
&=\lim_{\varepsilon\to +0} \frac{1}{2}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx +\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x-i\varepsilon}e^{-ikx}dx \right]
\end{align}
\)
で表されると仮定します。
そして、第1項、第2項をそれぞれ計算していきます。

\(
\displaystyle \lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x\pm i\varepsilon}e^{-ikx}dx
\)

を計算するにあたり、複素x平面上の漸近で収束する半径が\(k\)の符号によって異なるので場合分けをしてます。

\(k\gt 0\)の時

まず、\(\varepsilon\)の符号が正である場合を考えます。
この実軸上の積分は実軸への近づき方を指定して
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx =
\left[\int_{-\infty}^{-\varepsilon’}+\int_{\Gamma_+}+\int_{\varepsilon’}^{\infty}\right]\frac{e^{ikx}}{x}dx
\end{align}
\)

です。ここで、\(\int_{\Gamma_+}\)は特異点周りを複素平面上半面を通る経路です。
この積分を計算するために閉路積分を考えます。すなわち、以下の図の左側のように回った積分を考えます。

すると、この閉経路に対して、
\(
\begin{align}
\oint \frac{e^{-ikx}}{x}dx&=
\lim_{R\to\infty}\left[\int_{-R}^{-\varepsilon’}+\int_{\Gamma_+}+\int_{\varepsilon’}^{R}+\int_{\Gamma’}\right]
\frac{e^{ikx}}{x}dx\\
&=\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx+\lim_{R\to\infty}\int_{\Gamma’}\frac{e^{-ikx}}{x}dx
\end{align}
\)
が成立します。今、閉経路内に特異点が一つ存在し、負の方向に回っているので、左辺\(\oint \frac{e^{-ikx}}{x}dx=-2\pi i\)です。また、大きく外側を回る経路\(\Gamma’\)の積分はゼロです。よって、
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx =-2\pi i.
\end{align}
\)

が示されます。

また、特異点を下に回る積分(図の左の経路)では、閉経路内に特異点は存在しないので、\(\oint \frac{e^{-ikx}}{x}dx=0\)です。なので、
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x-i\varepsilon}e^{-ikx}dx =0.
\end{align}
\)

と導けます。

\(k\lt 0\)の時

まず、\(\varepsilon\)の符号が正である場合を考えます。

kが正の時と異なる点は、漸近で収束する領域が複素x平面の上半面であるという点です。

図の左のような閉経路を考えます。

同様に計算を行うと
\(
\begin{align}
\oint \frac{e^{-ikx}}{x}dx&=
\lim_{R\to\infty}\left[\int_{-R}^{-\varepsilon’}+\int_{\Gamma_+}+\int_{\varepsilon’}^{R}+\int_{\Gamma’}\right]
\frac{e^{ikx}}{x}dx\\
&=\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx+\lim_{R\to \infty}\int_{\Gamma’}\frac{e^{-ikx}}{x}dx
\end{align}
\)
今、閉経路内に特異点を含まないので、左辺\(\oint \frac{e^{-ikx}}{x}dx=0\)、また遠方ではゼロに近づくので、\(\int_{\Gamma’}\frac{e^{ikx}}{x}dx=0\)です。よって、
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx =0.
\end{align}
\)

また、特異点周りを正方向に回る場合、閉経路内に特異点を含むので、
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x-i\varepsilon}e^{-ikx}dx =2\pi i.
\end{align}
\)

となります。

\(k= 0\)の時

\(k=0\)では被積分関数は漸近で収束しません。なので漸近で大きく回った時の値がゼロになりません。

ここからは誤解を恐れずに計算します。
今求めたい積分は
\(
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-i0x}dx =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}dx
\)

です。実軸上の積分がこのページで書いた
\(
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-ikx}dx \nonumber \\
&=\lim_{\varepsilon\to +0} \frac{1}{2}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}e^{-ikx}dx +\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x-i\varepsilon}e^{-ikx}dx \right]
\end{align}
\)
で定義されているのだとすれば、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}dx =\lim_{\varepsilon\to +0} \frac{1}{2}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}dx +\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x-i\varepsilon}dx \right]
\end{align}
\)

です。簡単のため、特異点を含まない閉経路を取れば第1項は
\(
\begin{align}
\lim_{R\to \infty}
\left[\int_{-R}^{-\varepsilon’}+\int_{\Gamma_+}
+\int_{\varepsilon’}^{R}+\int_{\Gamma’} \right]\frac{1}{x}dx =\oint \frac{1}{x}dx=0
\end{align}
\)

なので、
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+i\varepsilon}dx +\int_{\Gamma’} \frac{1}{x}dx =0
\end{align}
\)

となります。外側を回る経路\(\Gamma’\)を通った積分は
\(
\begin{align}
\int_{\Gamma’} \frac{1}{x}dx &=\int_0^\pi \frac{1}{re^{i\theta}}ire^{i\theta} d\theta \\
&=\pi i
\end{align}
\)

と計算できてしまうので、代入すれば
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x+i\varepsilon} dx=-\pi i
\end{align}
\)

となります。また、同様にして
\(
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x-i\varepsilon} dx=\pi i
\end{align}
\)

を得ます。
よって、実軸上の積分の式に代入すれば
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}dx =\lim_{\varepsilon\to +0} \frac{1}{2}\left[(-\pi i) +\pi i \right] =0
\end{align}
\)

を得ます。すなわち、フーリエ変換後の\(k=0\)の値はゼロということです。

計算結果のまとめ


以上をまとめると、3つの関係式
\(
\begin{eqnarray}
\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ikx}}{x+i\varepsilon}dx =
\left\{
\begin{aligned}
-2\pi i~~~(k\gt 0)\\
0~~~(k\lt 0)
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray}
\)

\(
\begin{eqnarray}
\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ikx}}{x-i\varepsilon}dx =
\left\{
\begin{aligned}
0~~~(k\gt 0)\\
2\pi i~~~(k \lt 0)
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray}
\)

\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-i0x}dx=0
\end{align}
\)

を得ることが出来ました。
これを実軸上の積分の式に代入すると、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-ikx}dx =-\pi i ~\text{sgn}(k)
\end{align}
\)

となります。ここで、\(\text{sgn}(x)\)は符号関数で、
\(
\begin{eqnarray}
\text{sgn}(x) =
\left\{
\begin{aligned}
-1~~~(x\lt 0)\\
0~~~(x=0) \\
1~~~(x\gt 0)
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray}
\)
で定義される関数です。

xのフーリエ変換

1のフーリエ変換結果
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dx =2\pi\delta(k)
\end{align}
\)

を利用します(1のフーリエ変換)。

両辺を\(k\)で微分すると\(x\)のフーリエ変換
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}(-i)xe^{-ikx}dx &=2\pi\delta'(k) \\
\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-ikx}dx &=i2\pi\delta'(k)
\end{align}
\)

が導けます。

これを繰り返せば、\(x^n\)のフーリエ変換
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-ikx}dx &=i^n 2\pi\delta^{(n)}(k)
\end{align}
\)

も導くことが出来ます。

1のフーリエ変換

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dx &=-\frac{1}{i}\lim_{\varepsilon\to +0}\left[\frac{1}{k+i\varepsilon }-\frac{1}{k-i\varepsilon }\right] \\
&=-\frac{1}{i}\left[\frac{1}{k+i0}-\frac{1}{k-i0}\right] \\
&=2\pi\delta(k)
\end{align}

1のフーリエ変換


1のフーリエ変換を求めるためには、ヘヴィサイド関数の無限積分が
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \theta(x)e^{\pm ikx}dx &=\int_{0}^{\infty} e^{\pm ikx}dx\\
&=\lim_{\varepsilon\to +0}\mp\frac{1}{i}\frac{1}{k- i\varepsilon} \\
&=\mp\frac{1}{i}\frac{1}{k\pm i0}
\end{align}
\)
であることを用います(ヘヴィサイド関数のフーリエ変換)。

1のフーリエ変換
\(
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \theta(x)e^{-ikx}dx
\)

は、ヘヴィサイド関数の無限積分を用いて
\(
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dx \\
&=\int_{-\infty}^{0}e^{-ikx}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-ikx}dx \nonumber \\
&=\int_{0}^{\infty}e^{ikx}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-ikx}dx \nonumber \\
&=-\frac{1}{i}\frac{1}{k+i0} +\frac{1}{i}\frac{1}{k-i0} \nonumber \\
&=-\frac{1}{i}\left[\frac{1}{k+i0}-\frac{1}{k-i0}\right]
\end{align}
\)
と求められます。2行目から3行目の式変形は、第1項目に関して変数変換\(x\to -x\)を行っています。

ここで、計算結果
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dx=-\frac{1}{i}\left[\frac{1}{k+i0}-\frac{1}{k-i0}\right]
\end{align}
\)

の右辺が示す意味を考えます。
適当な関数に右辺を作用させたときを考えると、この右辺がデルタ関数の定数倍に等しいことが分かります。

\(
\begin{align}
g(x)=-\frac{1}{i}\left[\frac{1}{x+i0}-\frac{1}{x-i0}\right]
\end{align}
\)

とおいて、ある関数\(f(x)\)に掛けて\(x\)で積分すると

\(
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)dx \nonumber\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\left[ -\frac{1}{i }\left(\frac{1}{x+i0}-\frac{1}{x-i0}\right)\right]dx \nonumber\\
&=\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\left[ -\frac{1}{i }\left(\frac{1}{x+i\varepsilon}-\frac{1}{x-i\varepsilon}\right)\right]dx\nonumber \\
&=-\frac{1}{i}\left[\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \frac{1}{x+i\varepsilon}dx-\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\frac{1}{x-i\varepsilon}dx\right] \nonumber\\
&=-\frac{1}{i}\left[
\left\{ \mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx-\pi i f(0)\right\}
-\left\{\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx+\pi i f(0)\right\}
\right]\nonumber \\
&=2\pi f(0) \nonumber\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot 2\pi \delta(x)dx
\end{align}
\)

計算前と比較すると
\(
\begin{align}
g(x)&=2\pi \delta(x) \\
&\to \delta(x)=-\frac{1}{2\pi i}\left[\frac{1}{x+i0}-\frac{1}{x-i0}\right]
\end{align}
\)
としてデルタ関数が表現されていることが分かります。

ヘヴィサイド関数のフーリエ変換

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \theta(x)e^{-ikx}dx
=\lim_{\varepsilon\to +0}\frac{1}{i}\frac{1}{k- i\varepsilon}
=\frac{1}{i}\frac{1}{k- i0}
\end{align}
を導出します。
ここでは、アーベル総和の考えを用いません。使うのはフーリエ変換のユニタリー性です。

※いろいろ数学的に自信が持てない点があります。これは僕が納得した解釈であるので、完全に正しい導出方法ではないかもしれません。

また、ここではフーリエ変換を
\(
\begin{align}
& g(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx} dx \\
& f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}g(k)e^{ikx} \frac{dk}{2\pi}
\end{align}
\)

で定義しています。

ヘヴィサイド関数のフーリエ変換


ヘヴィサイド関数\(\theta(x)\)は
\(
\begin{eqnarray}
\theta(x) =
\left\{
\begin{aligned}
0~~~(x\gt 0)\\
1~~~(x\lt 0)
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray}
\)

と定義されます。この関数のフーリエ変換、すなわち積分
\(
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\theta(x)e^{- ikx} dx
\)

を考えます。上の積分は\(x\lt 0\)ではヘヴィサイド関数はゼロなので、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}H(x)e^{- ikx} dx=\int_{0}^{\infty}e^{-ikx}dx
\end{align}
\)

となります。後はこの積分が計算出来れば良いです。

\(k\ne0\)の場合


もしも\(k\ne 0\)であれば、この積分は計算可能です。
被積分関数を複素x平面に解析接続して、以下の図のような閉経路を考えます。

今、閉経路内に特異点は無いので、一周回った時の周回積分の値はゼロです。また、大きく外側を回る経路\(\Gamma’\)は、被積分関数が漸近で収束する領域なので、無限遠方での線積分の値はゼロです。このことから、
\(
\begin{align}
\oint f(x) dx &= \lim_{R\to\infty} \left[\int_0^R f(x)dx + \int_{\Gamma’}f(x)dx+\int_{R}^0 f(re^{i\theta})re^{i\theta}dr\right]\nonumber \\
0&= \lim_{R\to\infty}\left[ \int_0^R f(x)dx +\int_{R}^0 f(re^{i\theta})re^{i\theta}dr\right] \nonumber\\
\lim_{R\to\infty} \int_0^R f(x)dx &=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^R f(re^{i\theta})re^{i\theta}dr \nonumber
\end{align}
\)
が成立します。

\(e^{-ikx}\)で\(k\ne 0\)の場合、
\(\pi \lt \theta\lt 0 (k\gt 0),~~0 \lt \theta\lt \pi (k\lt 0) \)では
\(
\begin{align}
\int_0^{\infty}e^{-ikx}dx &= \lim_{R\to\infty}\int_0^{R e^{i\theta}}e^{-ikz}dz \nonumber \\
&= \lim_{R\to\infty}\left[\frac{e^{-ikz}}{-ik}\right]^{R e^{i\theta}}_{0} \nonumber \\
&=\frac{1}{i}\frac{1}{k}
\end{align}
\)
となります。
しかし、\(k=0\)は漸近で収束しないので同様の方法で計算することができません。

\(k=0\)の場合


\(k=0\)で、被積分関数は無限大に発散します。
なぜなら、
\(
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}e^{-i0x}dx= \int_{0}^{\infty}dx =\infty
\end{align}
\)

だからです。ここで問題なのは、無限大への発散の仕方です。

これが示すことは、フーリエ変換後の空間で\(k=0\)は特異点ということです。

以上から
\(
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^{\infty}\theta(x)e^{- ikx} dx =
\left\{
\begin{aligned}
\frac{1}{i}\frac{1}{k}~~~(k\ne 0)\\
\infty~~~(k= 0)
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray}
\)
というフーリエ変換結果を得ました。

特異点の周り方の指定

さて、前回の計算結果から、\(k=0\)に特異点がある事が分かりました。
この特異点の性質を知るために、逆フーリエ変換を考えます。

なぜなら、フーリエ変換はユニタリー変換であることを考えれば、フーリエ変換した関数を逆フーリエ変換した時には元に戻っていて欲しい、という条件が課されているからです。

そして、逆フーリエ変換時にはこれを避けて回らねばならりません。
特異点を回る方法として考えられるのは以下の3つです。

  1. 複素k平面上で特異点周りを上方向を回る
  2. 複素k平面上で特異点周りを下方向を回る
  3. 複素k平面上で特異点周りを上方向と下方向を回った結果の平均をとる

結果的に正しいのは下方向を回った時の2です。そしてこの特異点を回る方法をフーリエ変換後の結果に含めると、
\(
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\theta(x)e^{- ikx} dx = \lim_{\varepsilon \to +0 }\frac{1}{i}\frac{1}{k-i\varepsilon}
\)

という結論を得ることが出来ます。
ここで、\(-i\varepsilon\)が意味するのは、複素k平面を積分する時には下方向を回りなさい、ということを数学的に表しています。

実際にそれぞれ計算して確かめてみましょう。
被積分関数が漸近で収束する領域は\(e^{ikx}\)なので
\(x\gt 0\)の時、複素k平面の上半面、
\(x\lt 0\)の時、複素k平面の下半面になります。
一位の特異点を閉経路内に含み、正の方向に回る場合、コーシーの積分定理より値は\(2\pi i\)です。

1. 複素k平面上で特異点周りを上方向を回る場合

フーリエ変換後の関数\(f(x)\)は
\(
\begin{eqnarray}
f(x)=\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{-i}{k+i\varepsilon}e^{ikx}\frac{dk}{2\pi} =
\left\{
\begin{aligned}
1~~~(x\lt 0) \\
0~~~(0\lt x)
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray}
\)

なので、これは元のヘヴィサイド関数ではないので特異点を回る方法として欲しいものではありません。

2. 複素k平面上で特異点周りを下方向を回る

フーリエ変換後の関数\(f(x)\)は
\(
\begin{eqnarray}
f(x)=\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{-i}{k-i\varepsilon}e^{ikx}\frac{dk}{2\pi} =
\left\{
\begin{aligned}
0~~~(x\lt 0) \\
1~~~(0\lt x)
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray}
\)

なので、これはフーリエ変換前のヘヴィサイド関数に一致します。よってこれが適切です。

3. 複素k平面上で特異点周りを上方向と下方向を回った結果の平均をとる

フーリエ変換後の関数\(f(x)\)は1. 2. の結果から、
\(
\begin{eqnarray}
f(x)=\left\{
\begin{aligned}
1/2~~~(x\lt 0) \\
1/2~~~(0\lt x)
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray}
\)

なので、これは元のヘヴィサイド関数ではないので特異点を回る方法として欲しいものではありません。

以上から、複素k平面上の\(k=0\)にある特異点の回り方を指定して、ヘヴィサイド関数
\(
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\theta(x)e^{- ikx} dx = \lim_{\varepsilon \to +0 }\frac{1}{i}\frac{1}{k-i\varepsilon}
\)

と導くことが出来ます。良く、\(\varepsilon\to 0\)の表記を省略して
\(
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\theta(x)e^{- ikx} dx = \frac{1}{i}\frac{1}{k-i0}
\)

と記述されます。

演算子としての表現


ヘヴィサイド関数のフーリエ変換後の結果
\(
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\theta(x)e^{- ikx} dx = \frac{1}{i}\frac{1}{k-i0}
\)

の右辺に現れる特徴的な量
\(
\displaystyle \frac{1}{k-i0}
\)

を演算子として捉えた場合を考えます。この時、\(k\)を\(x\)に入れ替えて、ある関数\(f(x)\)に作用させると
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{1}{x-i0}\right) f(x)dx&=
\lim_{\varepsilon\to +0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x-i\varepsilon} dx\nonumber \\
&=\lim_{R\to \infty}
\left[\int_{-R}^{-\varepsilon’} \frac{f(x)}{x} dx+\int_{\Gamma_-} \frac{f(x)}{x}dx+\int_{\varepsilon’}^{R} \frac{f(x)}{x}dx\right]
\end{align}
\)
となります。

ここで、\(\Gamma_-\)は特異点を下に回る経路です。
注記しますが、コーシーの積分定理があるため、この段階で\(\varepsilon’\)をゼロに近づける必要は全くありません。

特に\(\lim_{\varepsilon’\to +0}\)を考えますと、コーシーの主値を用いて
\(
\begin{align}
&=\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x} dx +\pi i f(0)\nonumber \\
&=\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x} dx +\pi i \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x)dx \nonumber \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\mathcal{P} \frac{1}{x}+\pi i \delta(x)\right) f(x)dx \nonumber
\end{align}
\)
と書き表せます。以上から、右辺に現れる特徴的な量は
\(
\begin{align}
\frac{1}{x-i0}=\mathcal{P} \frac{1}{x}+\pi i \delta(x)
\end{align}
\)

と書き換えて解釈しても良い、となります。

実軸上の積分とコーシーの主値積分

結論


実軸上の積分とは、複素平面からの近づき方を指定して、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=
\frac{1}{2}\left[\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty+i\varepsilon}^{\infty+i\varepsilon}f(x)dx+
\lim_{\varepsilon\to +0}\int_{-\infty-i\varepsilon}^{\infty-i\varepsilon}f(x)dx\right]
\end{align}
\)

と求められるようです
図にするとこういう極限を取る、という意味です。

特に、実軸上\(x=0\)に1位の特異点が1つ存在する場合、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx=
\int_{-\infty}^{-\varepsilon}\frac{f(x)}{x}dx+
\frac{1}{2}\left[
\int_{\Gamma_+}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\Gamma_-}\frac{f(x)}{x}dx
\right]+
\int_{\varepsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx
\end{align}
\)

と書かれます。ここで、\(\varepsilon\to +0\)である必要はありません

\(\Gamma_+\)は実軸上の点\(x=-\varepsilon\)から複素平面で、特異点のを通って実軸上\(x=\varepsilon\)に戻る経路、
\(\Gamma_-\)は実軸上の点\(x=-\varepsilon\)から複素平面で、特異点のを通って実軸上\(x=\varepsilon\)に戻る経路
です。

図では

という経路です。
右図の点線の経路でも積分結果が変わりません。なぜなら、点線と実線で囲まれた領域内に特異点が無い状況を考えているです。

コーシーの主値とは、複素平面の迂回部分を消した値であり、さらに\(\varepsilon\to +0\)を課した実軸上のみの積分結果です。\(x=0\)に1位の特異点がある場合、
\(
\begin{align}
\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx=
\lim_{\varepsilon \to +0}\left[
\int_{-\infty}^{-\varepsilon}\frac{f(x)}{x}dx+
\int_{\varepsilon}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx
\right]
\end{align}
\)
と表現されるはずです。

コーシーの主値を用いて、本来の実軸上の積分を評価しようとすれば、
\(
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx=
\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x}dx+
\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon\to +0}\left[
\int_{\Gamma_+}\frac{f(x)}{x}dx+\int_{\Gamma_-}\frac{f(x)}{x}dx
\right]
\end{align}
\)

と書けるはずです。ここで、複素平面を回る経路は特異点を回る半径を無限小にした時の値でなければなりません。

実軸上に特異点が無い場合、積分の\(\Gamma_{+/-}\)からの寄与はゼロになります。なので、コーシーの主値積分と本来の実軸上の積分は一致します。すなわち、
\(
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx
\)

が成立します。

特異点をずらす操作について


特異点が実軸上にある時、

  • 特異点を迂回する経路を通って積分
  • 特異点をずらして積分

の二通りが頻出します。結局は同じことをしています。重要なのは、特異点の上を通るか下を通るかという点のみです。
1位の特異点が実軸上に存在する時、特異点をずらす場合、ずらし方として
\(
\frac{f(x)}{x+i\varepsilon}, \frac{f(x)}{x-i\varepsilon}
\)
となります。
ここで、\(\lim \varepsilon\to 0\)を取らなければなりませんが、この操作の本質は、特異点の無い積分領域の端では実軸上にいなければならない、という要請から来るものです。

特異点周りを半径無限小で回らなければならない理由はありません。

なので、特異点をずらしてから実軸上に近づける操作は、上、もしくは下を迂回して積分することと同じです。

具体的な関数をずらした時はこんな感じ。\(\varepsilon=0.2\)にとって描画しています。

注意


これは私の解釈です。

4つの計算
(sinc関数の無限積分、デルタ関数のフーリエ変換、1/xのフーリエ変換、ヘヴィサイド関数のフーリエ変換)
が正しい場合、上記の解釈でなければ矛盾が出ます。

しかし、上記の説明を行っている教科書、解説ページを見受けることはできませんでした。
なので、あくまで私が正しいと思い、この考えでないと導出が出来ず、また反例が今のところ見つかっていないだけです。

また、僕の立場として、コーシーの主値は全くの意味が無いものと考えています。

実際に現れる値は(実軸上の経路)+(特異点周りをまわる経路)であるからです。

反例がありましたらお知らせください。