emacs上で再読み込み

emacs上でファイルを再読み込みしたいとします。
OSはLinux mint17.1です。

例えば、
emacsであるファイルを開いたまま、sedコマンドでファイルをいじると、そのいじったファイルは現在開いているemacsには反映されません。

これを変更してF5キーを押すだけでemacs上で再読み込みができるようにします。

ホームディレクトリに
.emacs
というファイルを作成し、その中に↓

(defun revert-buffer-no-confirm (&optional force-reverting)
  "Interactive call to revert-buffer. Ignoring the auto-save
 file and not requesting for confirmation. When the current buffer
 is modified, the command refuses to revert it, unless you specify
 the optional argument: force-reverting to true."
  (interactive "P")
  ;;(message "force-reverting value is %s" force-reverting)
  (if (or force-reverting (not (buffer-modified-p)))
      (revert-buffer :ignore-auto :noconfirm)
    (error "The buffer has been modified")))

  ;; reload buffer
  (global-set-key (kbd "<f5>") 'revert-buffer-no-confirm)

と入力します。これを記述し、もう一度emacsを立ち上げ,sedコマンド等で外部から編集し、F5キーを押せば更新されます。

参考文献

Emacsで現在開いてるバッファを再読込する

sedコマンドによるファイルの書き換え

シェルスクリプトによってファイルを書き換えます。

  1. sedコマンドの概要
  2. 具体例一覧
    1. 特定の数値を変えたい場合
    2. 特殊文字(/等)を含む文字列の変更
    3. 置換する数値を変数での指定
    4. ある数値以降を全て変更したい
    5. ファイルの空白行の削除
    6. ファイルの行頭に数値を入れる
    7. ファイルの最後に改行を入れる
    8. 繰り返し変更したい場合

    9. do文で何回も変更したい
    10. 全く違う変数を繰り返し代入したい
    11. 整数の変数を規則的に何回も変更したい
    12. 小数点を含む変数を規則的に何回も変更したい

sedコマンドの概要


対象とするファイル名”input.ini”の中身に

&input
 a=7,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

という文が書いてあるとします。
これのファイルの中身を端末からのコマンドで書き換えるためにはsedコマンドを利用します。

sedコマンドとは、置換用のコマンドです。
例えば、コマンドライン上で

sed -e "s/a=7/a=9/" ./input.ini

と入力すると”input.ini”の中身の”a=7″に一致する場所を”a=9″に置換して出力します。
ここで重要なのが、”a=7″に一致する場所だけなので、後ろにあるコンマは影響されません
実際に実行してみると

$ sed -e "s/a=7/a=9/" ./input.ini
&input
 a=9,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

となってコマンドライン上に出力されます。
この時、書き換わった内容はコマンドラインのみに出力されるため、元のファイル自体に書き換えはされません

元のファイルの書き換えを行いたければ、出力先を適当なファイル、例えば”tmp”というファイルにし、それを”input.ini”にリネームすればいいです。
すなわち、

sed -e "s/a=7/a=9/" ./input.ini > tmp
mv tmp input.ini

とすればいいのです。実際に実行して中身を見ますと

$ sed -e "s/a=7/a=9/" ./input.ini > tmp
$ mv tmp input.ini
$ cat input.ini
&input
 a=9,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

となります。

sedコマンドの概要はここで終了です。
以降は具体例とシェルスクリプトのコード(ファイル名”q.sh”),実行例を載せていきます。

特定の数値を変えたい場合


対象とするファイル”input.ini”

&input
 a=7,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

“q.sh”の中身

#!/bin/sh
sed -e "s/a=7/a=9/" ./input.ini > tmp
mv tmp input.ini

実行例

$ sh q.sh
$ cat input.ini
&input
 a=9,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

特殊文字(/等)を含む文字列の変更


sedコマンドを使うために/を使います。ならば/を置換したい場合どうすればいいでしょう。
この時はsedコマンドで使っている区切りを表す/を別の特殊文字(例えば%)に置き換えればよいです。

対象とするファイル”input.ini”

&input
 a=7,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

“q.sh”の中身

#!/bin/sh
sed -e "s%c='./dat/'%c='./data/'%" input.ini > tmp
mv tmp input.ini

実行例

$ sh q.sh
$ cat input.ini
&input
 a=7,
 b=13,
 c='./data/',
&end

置換する数値の変数での指定


対象とするファイル”input.ini”

&input
 a=7,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

“q.sh”の中身

#!/bin/sh
pr=5
sed -e "s/a=7/a=${pr}/" ./input.ini > tmp
mv tmp input.ini

実行例

$ sh q.sh
$ cat input.ini
&input
 a=5,
 b=13,
 c='./dat/',
&ends

ある数値以降を全て変更したい


コンマも含めて消したいとします。
対象とするファイル”input.ini”

&input
 a=7,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

“q.sh”の中身

#!/bin/sh
sed -e "s/c=.*/c=12345/" ./input.ini > tmp
mv tmp input.ini

実行例

$ sh q.sh
$ cat input.ini
&input
 a=7,
 b=13,
 c=12345
&end

ファイルの空白行の削除


ファイルに含まれる空白行を全て削除します。
対象とするファイル”input.ini”

&input
 a=7,

 b=13,

 c='./dat/',


&end

“q.sh”の中身

#!/bin/sh
sed -e '/^ *$/d' input.ini > tmp
mv tmp input.ini

実行例

$ sh q.sh
$ cat input.ini
&input
 a=7,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

ファイルの行頭に数値を入れる


対象とするファイル”input.ini”

&input
 a=7,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

“q.sh”の中身

#!/bin/sh
i=1
while [ ${i} -le 1000 ]
do
    sed -e "${i}s/^/${i} /" input.ini > temp
    mv temp input.ini

    i=`expr $i + 1`
done

実行例

$ sh q.sh
$ cat input.ini
1 &input
2  a=7,
3  b=13,
4  c='./dat/',
5 &end
6

“q.sh”中、1000をファイルに応じて変更してください。

※また、行番号を入れるだけの場合、catコマンドを利用して、

cat -b input.ini > tmp
mv tmp input.ini

とするのが簡単だと思います。
オプション”-b”は空行を含めず行番号を付けるという意味です。空行を含めたい場合は”-n”でできます。

ファイルの最後に改行を入れる


対象とするファイル”input.ini”

&input
 a=7,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

“q.sh”の中身

#!/bin/sh
sed '$a\\n' input.ini > tmp
mv tmp input.ini

実行例

$ sh q.sh
$ cat input.ini
&input
 a=7,
 b=13,
 c='./dat/',
&end
   

$

※どうしても2行分改行されてしまうようです。
sedコマンドで1行分の改行は、どうすればよいか分かりませんでした。

苦肉の策ですが、適当なファイル(例えばnn.txt)に改行だけを入力し、catコマンドでファイルを結合すると一応できます。
—nn.txt—

————
を作っておいて、
#!/bin/sh
cat input.ini nn.txt > tmp
mv tmp input.ini
とすれば”input.ini”の後ろに”nn.txt”が結合されるため、1行分の改行が可能です。

do文で何回も変更したい


対象とするファイル”input.ini”

&input
 a=7,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

“q.sh”の中身

#!/bin/sh
for pr in 0 1 2
do
    sed -e "s/a=.*/a=${pr},/" input.ini > tmp
    mv tmp input.ini
   
    cat input.ini
done

実行例

$ sh q.sh
&input
 a=0,
 b=13,
 c='./dat/',
&end
&input
 a=1,
 b=13,
 c='./dat/',
&end
&input
 a=2,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

全く違う変数を繰り返し代入したい


対象とするファイル”input.ini”

&input
 a=7,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

“q.sh”の中身

#!/bin/sh
i=1
for j in 3d0 939d0
do
    echo "count -> ${i}"
    sed -e "s/a=.*/a=${j},/" ./input.ini > tmp
    mv tmp input.ini
   
    grep "a=" input.ini
   
    i=`expr $i + 1`
done

実行例

$ sh q.sh
count -> 1
 a=3d0,
count -> 2
 a=939d0,
$

シェルスクリプトの中の”grep”は”a=”に一致する行を書き出させるものです。

整数の変数を規則的に何回も変更したい


対象とするファイル”input.ini”

&input
 a=7,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

“q.sh”の中身

#!/bin/sh
i=1
while [ ${i} -le 3 ]
do
    echo "count -> ${i}"
    sed -e "s/a=.*/a=${i},/" ./input.ini > tmp
    mv tmp input.ini
   
    grep "a=" input.ini
   
    i=`expr $i + 1`
done

実行例

$ sh q.sh
count -> 1
 a=1,
count -> 2
 a=2,
count -> 3
 a=3,
$

小数点を含む変数を規則的に何回も変更したい


小数点を含む演算は”expr”コマンドではできません。
シェルスクリプトで数値計算を行う”bc”コマンドを用いましょう。
ここでは、変数\(v\)に、
\(v=i\times0.7,\;\;(i=1,2,3)\)
を代入する演算を考えましょう。

対象とするファイル”input.ini”

&input
 a=3,
 b=13,
 c='./dat/',
&end

“q.sh”の中身

#!/bin/sh
i=1
while [ ${i} -le 3 ]
do
    echo "count -> ${i}"

    v=$(echo "scale=3; $i*0.70 " | bc | sed -e 's/^\./0./g')
    echo "$v"
   
    sed -e "s/a=.*/a=${v},/" ./input.ini > tmp
    mv tmp input.ini
   
    grep "a=" input.ini
   
    i=`expr $i + 1`
done

実行例

$ sh q.sh
count -> 1
0.70
 a=0.70,
count -> 2
1.40
 a=1.40,
count -> 3
2.10
 a=2.10,
$

参考先


フィルタを使用した文字列操作 1 -UNIX & Linux コマンド・シェルスクリプト リファレンス
sed の使い方 -サーバエンジニアの知恵袋
制御構文 -シェルスクリプト入門
How to pass results of bc to a variable – Ask Ubuntu
bcによる少数の演算 -SWEng TIPs

水素原子の解析解1/3 -相対座標と変数分離

ボーアモデルにおける水素原子の解析解、すなわち電子1個(電荷-e)と陽子1個(電荷+e)の系でスピンを無視する場合を考えます。

戦略1)
この問題をそのまま解こうとすると電子で3次元、陽子で3次元なので、3+3=6次元の問題になります。
私達は今、クーロンポテンシャルが電子陽子間でしか依存しないことを知っています。
なので、古典力学で知られている通り、相対座標と重心座標を使い分離できそうだ、と考えられます。
やってみましょう。

2体問題における変数分離


2体系を考えます。(参考文献[1])
2つの物体(質量\(m_1, m_2\))には2体間の相対距離だけで決まる、時間に依存しないポテンシャル\(V({\bf r_1}-{\bf r_2})\)で相互作用しています。
よって、この系のハミルトニアン\(H\)は
\(
\displaystyle H=\frac{{\bf p_1}^2}{2m_1}+\frac{{\bf p_2}^2}{2m_2}+V({\bf r_1}-{\bf r_2})
\)

となるわけです。それに対応するシュレディンガー方程式は、
\(
\displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi({\bf r_1},{\bf r_2},t)=\left[ -\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla^2_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla^2_2 +V({\bf r_1}-{\bf r_2})\right]\Psi({\bf r_1},{\bf r_2},t)
\)

となります。ここで相対座標系
\(
\displaystyle {\bf r}={\bf r_1}-{\bf r_2},\;\;\; {\bf R}=\frac{m_1{\bf r_1}+m_2{\bf r_2}}{m_1+m_2}
\)

をとります。この座標系ではシュレディンガー方程式は以下のように書き直されます。
\(
\displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi({\bf R},{\bf r},t)=\left[ -\frac{\hbar^2}{2M}\nabla^2_{\bf R}-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2_{\bf r} +V({\bf r})\right]\Psi({\bf R},{\bf r},t)
\)

ここで\(M=m_1+m_2\)は系の全質量、\(\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\)は換算質量です。
今、ハミルトニアンが\({\bf R}と{\bf r}\)のそれぞれの和で書けています。
このことは変数分離が可能であることを示しています。なので波動関数を
\(
\Psi({\bf R},{\bf r},t)=\Phi({\bf R})e^{-iE_{CM}t/\hbar}\cdot\psi({\bf r})e^{-iEt/\hbar}
\)

として分離し、シュレディンガー方程式に代入、整理すれば\(\Phi({\bf R})\)と\(\psi({\bf r})\)に関する方程式
\(
\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2M}\nabla^2_{\bf R}\Phi({\bf R})=E_{CM}\Phi({\bf R}) \;\;\;\; \ldots(A)
\)

\(
\displaystyle \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2_{\bf r} +V({\bf r})\right]\psi({\bf r})=E\psi({\bf r})\;\;\;\; \ldots(B)
\)

が導けます。
式\((A)\)はエネルギー\(E_{CM}\)の質量\(M\)の自由粒子に対するシュレディンガー方程式とみなせ、
式\((B)\)はポテンシャル\(V({\bf r})\)中を質量\(\mu\)を持った粒子に対するシュレディンガー方程式であるとみなせます。
系の全エネルギー\(E_{tot}\)は
\(
E_{tot}=E_{CM}+E
\)

です。
適切な座標変換により、2体問題2つの1体問題に置き換えた。そういう事を今やったのです。

——
水素原子に適応しましょう[2]。
クーロンポテンシャル\(V(r)\)は
\(
\displaystyle V(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}
\)

と書けます。ここで、\(r\)は電子陽子間距離を表します。
電子の質量を\(m\), 陽子の質量を\(M\)と記述します。

重心と共に動く座標系で考えましょう。
今、重心は止まっています(重心の運動量\({\bf P}=0\))。
なので、解くべき問題は1体の時間依存しないシュレディンガー方程式だけで、
\(
\displaystyle \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\right]\psi({\bf r})=E\psi({\bf r}) \;\;\;\;\; \ldots(1)
\)

を解けばよい、ということになりました。\(\mu=\frac{mM}{m+M}\)はこの系の換算質量を表します。

戦略2)
6次元の問題から重心の自由度を3つ減らして3次元の問題に落とせたわけですが、3次元の問題を解くのはまだまだ大変です。相互作用ポテンシャルが中心力ポテンシャルであることから、3次元極座標で考えればrに関する項は変数分離できて、少なくともrに関する次元が更に1つ落とせそうです。あわよくば、残りの2次元も変数分離出来たら1次元の問題が3つになって嬉しいのですが、果たしてそううまくいくのでしょうか・・・

3次元極座標を用いた変数分離


ここでは3次元極座標、特に球面座標を使って変数分離を試みましょう(実は球面座標以外でも放物座標系と呼ばれる座標を使っても変数分離できます)

球面座標は、空間を\(r,\theta,\phi\)を用いて指定する座標です。デカルト座標との間には、

\(
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{aligned}
r &=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\
\theta&= \arccos{\frac{z}{r}}\\
\phi&=\tan^{-1}\frac{y}{x}
\end{aligned}
\right.
\;\;\;\;\;\;\;\;
\left\{
\begin{aligned}
x &= r\sin{\theta}\cos{\phi} \\
y &= r\sin{\theta}\sin{\phi} \\
z &= r\cos{\theta}
\end{aligned}
\right.
\end{eqnarray}
\)

の関係があり、体積要素\(d{\bf V}\)は
\(
d{\bf V}=r^2\sin{\theta}dr d\theta d\phi
\)

と表されます。

波動関数\(\psi({\bf r})\)を動径方向について分離します。
\(
\psi({\bf r})=R(r)Y(\theta,\phi)
\)

この座標系でのラプラシアン\(\nabla^2\)は
\(
\displaystyle \nabla^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}
\)

であるので、これらを式(1)に代入すると、
\(
\begin{align}
\displaystyle \left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\left\{\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right\} -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\right]R(r)Y(\theta,\phi)\\
=ER(r)Y(\theta,\phi)
\end{align}
\)

を得ます。


調べた限りではここからの解法は2つに分かれます。
①数学的に直接解く
②物理的意味を持つ角運動量演算子を考えながら解く
です。
どちらでも最後は同じになるので構わないと思います。
もしも深く知りたい場合は①を解いてから②を解くことをお勧めします。
長くなるのでページを移します。

①直接解く場合は後ほど

②物理的意味を踏まえながら解く場合は後ほど

参考文献

[1]Physics of Atoms and Molecules 2nd Edition pp.109~111 by B.H. Bransden C.J. Joachain(2003)
[2]Physics of Atoms and Molecules 2nd Edition pp.147~148 by B.H. Bransden C.J. Joachain(2003)
※参考した本はこれです。

openMPによる並列計算

まとめ


fortran90では、

program main
  implicit none
  integer::i,omp_get_thread_num

  ! number of threads for parallel computation
  call omp_set_num_threads(2)

  !$omp parallel
  !$omp do
  do i=1,100
     write(6,*) omp_get_thread_num()
  enddo
  !$omp enddo
  !$omp end parallel  

  stop
end program main

とすれば2個のスレッドで並列計算され、コンパイル時に
intel® fortranでは、

ifort -openmp main.f90

gfortranでは、

gfortran -fopenmp main.f90

とすれば良いです。



fortran90でのお話です。

openMPは複数のCPUを使って並列計算をする方法のことです
何も指定しない場合、計算は基本的に1つのコアのみを使います。
現在のところ、C/C++,fortranで対応しているようです。
Linuxを使っている場合、恐らくデフォルトで使えるようになっているはずです。

並列計算を行うまでの大まかな手順は2つ。

  1. プログラム内部に文章を書く
  2. コンパイル時にオプションを追加
    • intel®fortranコンパイラの場合
    • gfortranコンパイラの場合

です。

※今使っているパソコンの並列計算できるCPUの数の確認は、

cat /proc/cpuinfo | grep processor

です。proc/cpuinfoの場所は使っているOSによって違う可能性があります。
”linux mint cpu 確認”
等と検索するのが手っ取り早いでしょう。

プログラム内部に文章を書く


プログラム内でopenMPを使用するdoループを挟むように、

!$omp parallel
!$omp do
do i=1,100
    call test(i)   
enddo
!$omp enddo
!$omp end parallel

と書きます。基本はこれだけです。
並列計算に使えるスレッドが2個である場合、並列計算というのは

スレッド0

do i=1,50
    call test(i)   
enddo

スレッド1

do i=51,100
    call test(i)   
enddo

と割り振る操作なのです。

上記のようにdoループを分割するため、注意しなければならない点として、
doループに用いる変数に対して別々に計算しても計算結果に支障をきたさない事
が挙げられます。
上記例では、i=0から始めて、i=1,2,3,・・・と順次計算する必要は無く、i=5,10,1,3,・・・みたいな乱雑な順番でも計算結果が変わらない状況で使わなければなりません。

実際には同期したりとかで、出来なくはないですが面倒くさく、僕はやったことが無いので書きません。

もしも並列計算したいスレッド数を制限したい場合、

!$omp parallel

!$omp parallel num_threads(2)

のように指定するか(この例ではその部分の並列計算を2つのスレッドで行う)、
並列計算が始まる前のプログラムの初めの方に

call omp_set_num_threads(2)

と書きましょう。これを書くと全ての並列計算箇所が2個のスレッドで行われることになります。

また、関数omp_get_thread_num()はスレッドにつけられた番号を返す事が出来ます。引数は要りません。
なので、これを利用すると何個のスレッドが使われているのか直に確認できます。

補足ですが、MKL(マス・カーネル・ライブラリ)のルーチン内で使われる並列計算のスレッド数は

call mkl_set_num_threads(2)

と書くことで制御できます。

コンパイル時のオプション


intel® fortranでは、

ifort -openmp main.f90

gfortranでは、

gfortran -fopenmp main.f90

としてコンパイル、実行しましょう。

実例


例として

program main
  implicit none
  integer::i,omp_get_thread_num

  ! number of threads for parallel computation
  call omp_set_num_threads(2)

  !$omp parallel
  !$omp do
  do i=1,4
     write(6,*) omp_get_thread_num()
  enddo
  !$omp enddo
  !$omp end parallel  

  stop
end program main

を動かすと同出力されるか見てみましょう。
gfortranコンパイラで、使えるスレッドの数は2つです。
上記のコードを

gfortran -fopenmp main.f90

としてコンパイルし、実行すると

./a.out
           1
           0
           0
           1

という結果が得られます。
ここに出ている数字はスレッドの番号で、0,1と番号付けされたスレッドが確かに出力されている事が分かります。1,0,0,1の順番はどうでも良いです。実行するごとに変わるので、これは同時並行処理されているためでしょう。

call omp_set_num_threads(1)

として計算を行うと、

./a.out
           0
           0
           0
           0

と表示されることから、確かに使うスレッド数が制御されていることが分かります。

openMPの機能はこれだけではありません。
調べることをお勧めします。ここではこれ以上書きません。

参考文献


インテル® コンパイラーOpenMP*入門

正多角形とスピログラフの数式

正多角形とスピログラフの数式です。

  1. 正多角形(2次元)
  2. 正多角形(3次元)
  3. 星型多角形(2次元)
  4. 星型多角形(3次元)
  5. トロコイド(2次元)
  6. トロコイド(3次元)
  7. スピログラフ

2016/10/24
幾何学模様を作りたい方は幾何学模様(gnuplot)へどうぞ。


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正多角形の式(2次元)


正n角形の数式は[1]を参考に修正しました。
正n角形の数式は、
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x&\displaystyle =\cos t \cdot \frac{\cos \frac{a_n}{2}}{\cos\left[a_n\left\{\frac{t}{a_n}-{\rm floor}\left(\frac{t}{a_n}\right)\right\}-\frac{a_n}{2}\right]}\\
y&\displaystyle =\sin t \cdot \frac{\cos \frac{a_n}{2}}{\cos\left[a_n\left\{\frac{t}{a_n}-{\rm floor}\left(\frac{t}{a_n}\right)\right\}-\frac{a_n}{2}\right]}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
です。ここで、\(a_n=\frac{2\pi}{n}\)と置きました。また、\({\rm floor}(x)\)は床関数(床関数と天井関数)を表します。
媒介変数\(t\)の範囲は(\(0\le t \lt 2\pi\))です。
グラフを書かせてみますとこうなります。

polygon3_10_c
n=3,4,5,6
n=7,8,9,10の順で、単位円を一緒に記述しています。
線の色の濃さは媒介変数の値に応じて変化させています。

gnuplotのスクリプトはこちら

多面体の式(3次元)


半径1の多面体は、平面のx,yの媒介変数による正n角形の関数をそれぞれpc(t),ps(t)と置くと、
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x& = {\rm ps}(u)\cdot {\rm pc}(v) \\
y& = {\rm ps}(u)\cdot {\rm ps}(v) \\
z& = {\rm pc}(u)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
と書けます。
媒介変数\(u,v\)の範囲は(\(0\le u \lt \pi, \;\; 0\le v \lt 2\pi\))です。

プロットすると以下のようになります。
polygon3d_3_10_c
n=3,4,5,6
n=7,8,9,10の順です。

gnuplotスクリプトはこちら

星型多角形(2次元)


\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x&\displaystyle =\cos t \cdot \frac{\cos a_n}{\cos\left[a_n -\frac{1}{n}\cos^{-1}\{\cos(nt)\}\right]}\\
y&\displaystyle =\sin t \cdot \frac{\cos a_n}{\cos\left[a_n -\frac{1}{n}\cos^{-1}\{\cos(nt)\}\right]}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
です(\(n\ge 5\))。ここで、\(a_n=\frac{2\pi}{n}\)と置きました。
グラフを書かせてみるとこのようになります。
starpolygonp_c

gnuplotスクリプトはこちら。
※\(\cos^{-1}(\cos(x))\)は不安定です。
場合により書けなくなることがあります。ここでは上記関数の代わりに、正弦波ではない周期関数の数式
で記述した関数\(s(a,x)\)を用いています。

星型多角形(3次元)


3次元の場合は多面体の時と同じように、平面のx,yの媒介変数による星型多角形の関数をそれぞれstpc(t),stps(t)と置くと、
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x& = {\rm stps}(u)\cdot {\rm stpc}(v) \\
y& = {\rm stps}(u)\cdot {\rm stps}(v) \\
z& = {\rm stpc}(u)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
と書けます。
媒介変数\(u,v\)の範囲は(\(0\le u \lt \pi, \;\; 0\le v \lt 2\pi\))です。
グラフはこのようになります。
starpolygon3dp_c

gnuplotスクリプトはこちら。

トロコイド(2次元)


トロコイドと呼ばれる曲線があります[2]。
これをgnuplotで書いてみましょう。数式は[2]を参考にして以下の通りです。
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x& = \left[(n-1)\cos t +h\cos((n-1)t)\right]/n \\
y& = \left[(n-1)\sin t +h\sin((n-1)t)\right]/n
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
\(h=1\)の時、半径が1の円に内接するように決めています。
また、\(n\)が整数の時、内接する円が外側の円をちょうど一周回った時に元の位置に戻る条件です。
別に整数でなくても構いません。その時はもっと複雑なものになることでしょう。

書いてみますと曲線はこうなります。
自由度\(h\)を1にしてグラフを書いてみましょう。
trocoid2d_3_10_c

自由度hを少し変えてみましょう。
trocoid2dh_3_10_c

トロコイド(3次元)


3次元の場合は多面体の時と同じように、平面のx,yの媒介変数によるトロコイドの関数をそれぞれhcyc(t),hcys(t)と置くと、
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x& = {\rm hcys}(u)\cdot {\rm hcyc}(v) \\
y& = {\rm hcys}(u)\cdot {\rm hcys}(v) \\
z& = {\rm hcyc}(u)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
と書けます。
媒介変数\(u,v\)の範囲は(\(0\le u \lt \pi, \;\; 0\le v \lt 2\pi\))です。

trocoid3d_3_10_c
n=3,4,5,6
n=7,8,9,10の順です。

gnuplotスクリプトはこちら

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スピログラフ(2次元)


スピログラフは遊んだ方も多いと思います。これです。
1024px-Spirograph
©Alexei Kouprianov/2007/CC-BY 2.5
スピログラフはトロコイドの特別な時です。スピログラフをもっと一般化したのがトロコイドです[2]。

図示すれば、スピログラフと言うのは
speq_compressed
という二つの円からなる軌道です。黄色の点線の長さが等しい、という束縛条件が課せられます。
数式は上のトロコイドと同じで
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x& = \left[(n-1)\cos t +h\cos((n-1)t)\right]/n \\
y& = \left[(n-1)\sin t +h\sin((n-1)t)\right]/n
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
と書けます。

もう少し考えを一般化して、周りを取り囲んでいる形状が円ではない時を考えましょう。その時の数式を考えます。
考え方はトロコイドと一緒ですが、もう少し拡張しましょう。

今、2つの媒介変数による軌道を持っていたとします。1つの媒介変数の軌道上を動かせばスピログラフの考えと同じになります。図で示すと以下のようになります。
spirograph_any_c
スピログラフは両方円であり、滑りが無い(cを決定する条件)場合に対応するわけです。ただ、円である必要性はないので、多角形であろうが、何だろうが数式上では書けるわけです。
興味深い事に、大きな軌道に沿って小さな軌道を動かした、と見ようが小さな軌道に沿って大きな軌道を動かしたとみても数式上では一緒なのです。面白いですね。

いくつか例を挙げます。
五角形上を動かす場合はこうです。
parameter1

数式として,
\(
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x& = f_{1x}(t)+r\cdot f_{2x}(s\cdot t) \\
y& = f_{1y}(t)+r\cdot f_{2y}(s\cdot t)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
\)
と書き表すことにします。これを元にgnuplotのスクリプトを書けば以下のようになります。

色々に変化させた時の色々なときのグラフです。
spr2_any_compressed

rを綺麗な数字にしなければもっと複雑な図が得られます。
また、この考え方は3つの媒介変数の軌道、4つの媒介変数の軌道…として容易に拡張できます。
もっと複雑な模様が欲しければ、もう少し増やしてみましょう。

例えば3つの場合はこうなります。
parameter3_spi
このスクリプトを置いておきます。

この考えを拡張していくと”フーリエ級数の図示化”と言うのができるわけです。

実際にやっている方がいるので紹介しておきますね。

参考文献


[1]Is there an equation to describe regular polygons? -MATHEMATICS
[2]Hypotrochoid -Wolfram Mathworld

アニメーションに便利な関数

アニメーションに便利な関数、手法です。

点の表示


plot sprintf("< echo ''%f %f''", x0,y0)

とすると点\((x_0,y_0)\)が描写されます。

窓関数


窓関数です。関数\(W(x)\)は、
\(
\displaystyle W(x)=\frac{r^{2^n}}{(x-x_c)^{2^n}+r^{2^n}}
\)
書かれます。この関数は\(r\)が窓の横幅を示し、\(n\)が窓の端の様子を決めるパラメータです。窓の広がりはおよそ\(2r\)です。

fwi(n,r,i,ic)=(real(r)**(2**n))/((real(i-ic))**(2**n)+real(r)**(2**n))

加速、減速


extanh
\(
\begin{align}
y(x)&=C_0\tanh(a(x-x_c))+C_1 \\
& C_0 = \frac{f_0-f_1}{t_0-t_1} \\
& C_1 = \frac{-t_1f_0+t_0f_1}{t_0-t_1} \\
& t_0 = \tanh(a(x_0-x_c)) \\
& t_1 = \tanh(a(x_1-x_c)) \\
& x_c = \frac{x_0+x_1}{2}
\end{align}
\)
の関数は点\((x_0,y_0)\)から点\((x_1,y_1)\)に\(\tanh(ax)\)で与えられる関数で書きます。
関数の中心は\((x_c,y_c)=((x_0+x_1)/2,(y_0+y_1)/2)\)になります。
画像の2つの赤い点は\((x_0,y_0)\)と\((x_1,y_1)\)を表しています。
\(a\)は変化の度合いを調節するパラメータです。

この関数は非常に使えます。ラミエルを作っている最中にこの関数を考えましたが、想像以上に役立ちます。

fth(a,x,x0,f0,x1,f1)=(f0-f1)*tanh(a*(real(x)-(x0+x1)*0.5e0))/(tanh(a*(real(x0)-(x0+x1)*0.5e0))-tanh(a*(real(x1)-(x0+x1)*0.5e0)))+(-f0*tanh(a*(real(x1)-(x0+x1)*0.5e0))+f1*tanh(a*(real(x0)-(x0+x1)*0.5e0)))/(tanh(a*(real(x0)-(x0+x1)*0.5e0))-tanh(a*(real(x1)-(x0+x1)*0.5e0)))
 # x0,f0 --> x1,f1

この関数を用いた応用です。
extime_tanh

これはある時間内で高さを反転させるものです。コードはこちら。

set xr[-6:6]
set yr[0.8:2.2]
set size ratio 0.5 1
   
a=1e0
at=0.4e0
x0=-5e0
f0=1e0
x1=5e0
f1=2e0

#set term gif enhanced animate optimize delay 8 size 800,500
#set output 'extime_tanh.gif'

i0=0
i1=20
do for[i=i0:i1]{
    ft0=fth(at,i,i0,f0,i1,f1)
    ft1=fth(at,i,i0,f1,i1,f0)
    plot fth(a,x,x0,ft0,x1,ft1) w l lt 2 lc 3 lw 5 ti sprintf("a=%3.2f, at=%3.2f, (x_0,f_0)=(%3.2f,%3.2f), (x_1,f_1)=(%3.2f,%3.2f)",a,at,x0,f0,x1,f1), sprintf("< echo ''%f %f''", x0,ft0) pt 7 ps 2 lc 7, sprintf("< echo ''%f %f''", x1,ft1) pt 7 ps 2 lc 7

  }

#set out
#set terminal wxt enhanced

Wolfram alphaの便利な使い方

オンラインで使える数学用の検索エンジン
Wolfram alpha
を使うといろいろな事が出来ます。それらを紹介します。

積分


integral from 0 to infty sin(x)/x

基本中の基本、積分です。複雑な積分でも定積分でも不定積分でも無限大でも受け付けてくれます。
ただし、計算してくれるかは分かりません。
例えば\(\rm{sinc}\)関数\(\left(\rm{sinc}(x)=\frac{sin(x)}{x}\right)\)のゼロから無限大までの積分は、
20160202-222431_c
のように出力してくれます。\(\pi\)で出力されるのは凄いです。

\(\rm{sinc}\)関数のように有名な関数であれば、

integral sin(x)/x

としたほうがたくさんの情報が得られます。

微分方程式の解


y''(x)+y(x) = sin(x)

と入力すると微分方程式を解いてくれます。また、

y''(x)+y(x) = sin(x), y(0)=1, y'(0)=0

な風にすると、初期条件を与えたうえで解いてくれます。
20160202-221952_c
自分の与えた数式通りに認識しているか、確かめましょう。

行列の対角化


Eigenvectors[{-2,2,4},{-2,4,2},{-2,1,4}]

行列の対角化を行ってくれます。上を入力すると行列
\(
\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{ccc}
-2 & 2 & 4 \\
-2 & 4 & 2 \\
-2 & 1 & 4
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
\)を対角化し、その固有値と固有ベクトルを出力してくれます。

級数展開


関数の級数展開を出力してくれます。
例えば、

Series[BesselJ(1,x),{x,0,5}]

と入力するとベッセル関数\(J_1(x)\)を\(x\)について、\(x=0\)回りで、\(x^5\)まで展開して出力してくれます。
20160202-223943_c

また、

Series[cos(x),{x,1,10}]

とすると、\(\cos(x)\)を\(x\)について、\(x=1\)回りで、\(x^{10}\)まで展開して出力してくれます。

また、

Series[exp(ix)/x,{x,0,4}]

としても展開してくれます。この場合はローラン(Laurent)展開であり、特異点周りの展開となっています。
上の場合、出力として、
20160202-221030_c
という結果が得られます。
もう一つ、ガンマ関数\(\Gamma(x)\)の\(x=0\)まわりでのローラン展開です。

Series[gamma(x),{x,0,3}]

と入力するとガンマ関数\(\Gamma(x)\)を\(x\)について、\(x=0\)回りで、\(x^3\)まで展開して出力してくれます。
20160202-223636_c
すごい・・・

キャラクターの曲線


様々なキャラクターの曲線のグラフを出力してくれます。
その曲線はWolfram alpha named parametric curvesにまとめられていましたので紹介します。
もしくは、↓をクリックすることで展開されます。

上の他には、wolframで

fictional character curves

animal curves

person curves

と入力して,moreを押していってください。

例を挙げます。

tachikoma like curve

“tachikoma”は、攻殻機動隊に出てくる戦車です。こんな感じです。
tachikoma_wolfram_c

——————–

charmander like curve

“charmander”は、ヒトカゲの事のようです。
charmander_wolfram_c
———————
もしも、上のグラフの数式をコピペしたい場合は、各グラフの下に
plaintext_wolfram
という欄の、”plain text”というところをクリックすれば数式を取得できます。

MATLABを用いた3次元等値面の描き方

さて, 数値計算で得られた計算データを3次元で美しく描きたくなると思います.
なると思います.
MATLABで等値面を描くと, とても綺麗になるのでおすすめです.
ということで, 描き方について紹介したいと思います.
まぁ, 手始めに楕円体ですかね.

program main
  implicit none
 
  integer(8)::na,nb,nc,intangle
  real(8)::x,y,z,V,theta
  integer(8),parameter::no=50
  real(8)::a,b,c
  real(8)::ss(1:3)

  Open(50,FILE='data.dat',STATUS='unknown')
     
     a=0.6d0
     b=1.2d0
     c=0.6d0
     
     do nc=-no,no
        write(*,*)nc+no,"/",no*2
        do na=-no,no
           do nb=-no,no
             
              ss(1)=dble(na)/dble(no)
              ss(2)=dble(nb)/dble(no)
              ss(3)=dble(nc)/dble(no)
             
              V=(b**2d0 *c**2d0 *SS(1)**2d0)+(c**2d0 *a**2d0 *SS(2)**2d0)+(a**2d0 *b**2d0 *SS(3)**2d0) !楕円体の式
             
              write(50,'(3f10.5,2f11.7)')ss(1),ss(2),ss(3),V
           end do
        end do
     end do
     
     close(50)
     
  end do
end program main

今回は, 101x101x101で計算しますが, これらの範囲は自由に変更できます.
実際に使う際は, vの式を任意の式に変更するだけです.

x, y, zの回す順番だけは, このプログラムコードに合わせて下さい.

さて, data.datができました. 次に, MATLABで読み込めるようにファイルを変換します.

program main
  implicit none
 
  integer(8)::nx,ny,nz,xx,yy,zz
  real(8),allocatable::x(:,:,:)
  real(8),allocatable::y(:,:,:)
  real(8),allocatable::z(:,:,:)
  real(8),allocatable::v(:,:,:)
 
  nx=50
  ny=50
  nz=50
 
  open(62,file="data.dat",status="old")!読み込みファイル
  open(64,file="x.txt",status="unknown")!出力ファイル
  open(65,file="y.txt",status="unknown")!出力ファイル
  open(66,file="z.txt",status="unknown")!出力ファイル
  open(67,file="v.txt",status="unknown")!出力ファイル

  allocate(x(-nx:nx,-ny:ny,-nz:nz))
  allocate(y(-nx:nx,-ny:ny,-nz:nz))
  allocate(z(-nx:nx,-ny:ny,-nz:nz))
  allocate(v(-nx:nx,-ny:ny,-nz:nz))
 
  do zz=-ny,ny
     do yy=-nx,nx
        do xx=-nz,nz
           read(62,*)x(xx,yy,zz),y(xx,yy,zz),z(xx,yy,zz),v(xx,yy,zz)
        end do
     end do
  end do
 
  do xx=-nx,nx
     write(64,*) x(xx,:,:)
     write(65,*) y(xx,:,:)
     write(66,*) z(xx,:,:)
     write(67,*) v(xx,:,:)
  end do
 
  deallocate(x)
  deallocate(y)
  deallocate(z)
  deallocate(v)
 
  close(62)
  close(64)
  close(65)
  close(66)
  close(67)
           
end program

これで, x.txt, y.txt, z.txt, v.txtが出力されます.
nx, ny, nzの値は, 範囲設定を変えた場合は適宜それに合わせて書き換えて下さい.
さて, 準備ができたので, MATLABを起動しましょう.

x.txt, y.txt, z.txt, v.txtの階層に移動して,
次のコマンドを入力してこれらのファイルを読み込みます.
次のコマンドはスクリプトファイルにしちゃうと楽ですね.

xn=50*2+1   %xのデータ数
yn=50*2+1   %yのデータ数
zn=50*2+1   %zのデータ数
x=load('x.txt')
x2=reshape(x,xn,yn,zn)
y=load('y.txt')
y2=reshape(y,xn,yn,zn)
z=load('z.txt')
z2=reshape(z,xn,yn,zn)
v=load('v.txt')
v2=reshape(v,xn,yn,zn)

コードの内容は,
まず, 先ほどのデータを読み込みます.
次に, 読み込んだデータをちょっと整理してます.

さて, あとは描くだけです!!
次のコマンドを入力していきましょう.

E=0.5 %Eが描きたい等値面の値
p = patch(isosurface(x2,y2,z2,v2,E));
isonormals(x2,y2,z2,v2,p)
set(p,'FaceColor','green','EdgeColor','none'); %ここで色変更可
daspect([1,1,1])
view(30,30); axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5 -1.5 1.5]) %axisで表示範囲を設定
camlight ('headlight') %光の当てる方向
camlight ('right') %光の当てる方向
lighting gouraud

これで, 綺麗な楕円体が描けると思います.

hcu

こんな感じですかね.

もうちょっと頑張ったら, これの断面図をグロテスクに描いたりもできますが,
まぁアクセス数次第ですかね.

レッツ!!!等値面!!!!!!!