Devil Maker: Tokyo_今回の大型アップデート(追記6/5)

5月14日の大幅アップデートで仕様がいろいろと変わったりした。変更点でなかなか重要そうなのをまとめていこうと思う。

1, 自動進行の設定
Menu-Optionsで、Exploreの自動進行の設定ができる。
最初から自動進行にしたり、闇の根源に遭遇した時のみ待機など指定することができる。

2, 戦闘で負けた場合のリトライ
今まではFPを500支払うことで、リトライすることができた。
今回のアプデで、Goldを使ってもリトライすることができる(らしい
間違えて、Gold利用のリトライをしないように(警告文が出るかは不明)

3, Raidの報酬が、まとめて送られてくるようになった。
今までバラバラでBOXを圧迫していましたが、同種類の報酬はまとめられるようになりました。BOXテロの発生が起こりにくくなりました。

4, ホムンクルス
新しくホムンクルスを作れるようになった。これはExploreの進行中に, 進行パーティーをホムンクルスパーティーに変えることができる。
ホムンクルスを作るには, Lv.40のRareカードが2枚必要となる。この2枚と, 進化ポイント・シルバーを使ってホムンクルスを生成する。このとき、素材となったカードはLv.1に戻る(オプションの変化は不明)。また, 通常のパーティに入れることは可能。再び別のホムンクルスの素材にはできない。
Goldを使えば、レベルのリセットを無効化したり、ホムンクルスのオプションを4つ確定にすることができる。

6/5追記———————
素材に使ったカードはレベルリセット以外は変化なし。オプション等はそのまま。
また、ホムンクルスのオプションとスキルは素材のものがランダムに反映される。
(星7を2体使ってホムンクルス作って確認済み)
—————————

5, クリティカル攻撃とスキル攻撃
今までの攻撃パターンは、スキル発動するかどうか決定し、スキル発動しなかった場合にクリティカル→通常攻撃となっていた。今回からは、スキル発動率とクリティカル発動率高いほうから、発動するようになった。
クリティカル発動(高確率)→スキル発動(低確率)→通常攻撃
or
スキル発動(高確率)→クリティカル発動(低確率)→通常攻撃
これにより、クリティカルパーティーはスキル発動を心配する必要がなくなった。

こんなもんですかね。特筆すべき変更点は。
ランク6, 7のオプションがだいぶ変更されました。もう一度確認したほうがいいかもしれませんね。
たとえば、
ヘラクレスは, どんな攻撃でもDPが上がるようになりました。強いです。
ヘムレスは、クリティカル攻撃でDPが上がり、さらにパーティーの回復オプションになりました。

gnuplotのカラーマップ

配色(pm3dの色)について
gnuplot ver4.6で確かめています。

一番良いと思ったカラーマップは、matlabで使われている”jet”だと感じました。

set palette defined ( 0 '#000090',1 '#000fff',2 '#0090ff',3 '#0fffee',4 '#90ff70',5 '#ffee00',6 '#ff7000',7 '#ee0000',8 '#7f0000')

colorjet
参考:Matlab colorbar with Gnuplot

※一番下に黒を追加した以下の物も良いと思います。

set palette defined ( -1 '#000030', 0 '#000090',1 '#000fff',2 '#0090ff',3 '#0fffee',4 '#90ff70',5 '#ffee00',6 '#ff7000',7 '#ee0000',8 '#7f0000')


配色について。
gnuplotでは色の指定方法として3種類あるそうです((2),(3),(4))。

お勧めのカラーの指定順に,
(1)外部サイトgnuplottingにあるカラーマップを利用する
(2)cubehelixで指定する
(3)definedで指定する
(4)rgbformulaeで指定する

方法を紹介します。

(1)gnuplottingにあるカラーマップの利用


一番早く、綺麗なカラーマップを得るためには”gnuplotting(http://www.gnuplotting.org/)”という外部サイトに紹介されているgnuplotのカラーマップを使うことです。
ここに紹介されているカラーマップは、https://github.com/Gnuplotting/gnuplot-palettesより画像を引用して、
overview((c)gnuplotting)です。

使い方

1. Gnuplotting/gnuplot-palettes -githubに飛びます。
2. 右上にある “Clone or download” をクリックしてすべてのファイルをダウンロード
3. カラーマップを見て使いたい名前の “***.pal” ファイルをgnuplot上でload
で使えます。線の色なども上書きされるので、もしも線の色だけを変えたければ、linestyleなどで変更する必要があります。

(2)cubehelixで指定する


gnuplot version4.6以上

set palette cubehelix start 0.5 cycles -1.5 saturation 1

この色の指定方法はD.A.Greenによって発表された、宇宙の、強度イメージを色付けするために作られた色の指定方法です[1]。

それぞれのパラメータが何を表すかは折りたたんでおきますので、気になる方は下のリンクを開いてください。


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cubehelixでの具体例

対象とするデータは、水素原子の(n,l,m)=(4,2,0)の解析解です。
※このデータが欲しい方はこちらHydrogen_xz_nlm420.txt(1.5MB)に置きましたので、コピペしてください。
Ctrl+aで全選択できます。

3Dの表示ではこういうグラフです。
hydrogennlm420

特に記述が無いものはgammaの値はデフォルトの1.5です。

1.hydro420_s0.5c-1.5s1g1.5_c

set palette cubehelix start 0.5 cycles -1.5 saturation 1

きちんとした裏付けの下カラーリングされているので、論文等々にお勧めです。


2.hydro420_s0.5c-1s3g1.5_c

set palette cubehelix start 0.5 cycles -1 saturation 3

もしくは

 set palette defined(0"#000000",1"#5b13b8",2"#1c60ff",3"#00b7d8",4"#01eb75",5"#55f02e",6"#ccd73b",7"#ffc68c",8"#ffd5e2",9"#ffffff")

3.hydro420_s0.5c-1s3g3_c

set palette cubehelix start 0.5 cycles -1 saturation 3
set palette gamma 3

もしくは↑に近い色で

set palette defined(0"#000000",0.1"#8e007a",2.1"#579dff",3.1"#2de4ff",4.1"#4bffab",5.1"#98fe7d",6.1"#e4eb8c",7.1"#ffe1c0",8.1"#ffe9f0",9.1"#ffffff")

4.hydro420_s1c0s2g1.5_c

set palette cubehelix start 1 cycles 0 saturation 2

5.hydro420_s2c0s3g1.5_c

set palette cubehelix start 2 cycles 0 saturation 3

6.hydro420_s2c1s2g1.5_c

set palette cubehelix start 2 cycles 1 saturation 2

7.hydro420_s3c0.5s3g1.5_c

set palette cubehelix start 3 cycles 0.5 saturation 3

8.hydro420_s1c5s3g1.5_c

set palette cubehelix start 1 cycles 5 saturation 3

9.hydro420_s1c0s2g1.5neg_c

set palette cubehelix start 1 cycles 0 saturation 2 negative

10.hydro420_s1c-1s2g1.5neg_c

set palette cubehelix start 1 cycles -1 saturation 2 negative

11.hydro420_s3c0.5s1g1.5neg_c

set palette cubehelix start 3 cycles 0.5 saturation 1 negative

12.hydro420_s3c-2s2g1.5neg_c

set palette cubehelix start 3 cycles -2 saturation 2 negative

13.hydro420_s1c5s3g1.5neg_c

set palette cubehelix start 1 cycles 5 saturation 3 negative

82.54.4 Cubehelix

(3)definedで指定する

set palette defined(-3"blue",0"white",5"red",10"yellow")

z軸が-3になったとき青色(blue)、0になったとき白(white),5になったとき赤(red)、10になったとき黄色 (yellow・になるような配色です。
zの範囲が-50 < z < 100だった場合は-3,0,5,10の比で表されます。
すなわち、z=-50で青、z=-16付近で白、z=42付近で赤、z=100で黄色となるように自動的に調整されます。
色は有名な色は上の例のように言葉で記述できますが、16進数のカラーコードによる表示もできます。

カラーマップ例

カラーマップ例を載せます。


set palette defined ( 0 '#000090',1 '#000fff',2 '#0090ff',3 '#0fffee',4 '#90ff70',5 '#ffee00',6 '#ff7000',7 '#ee0000',8 '#7f0000')

matlabで使われている”jet”のカラーマップです。
colorjet
参考:Matlab colorbar with Gnuplot

set palette defined(0"#ff0000",1"#ff8000",2"#ffff00",3"#80ff00",4"#00ff00",5"#00ff80",6"#00ffff",7"#0080ff",8"#0000ff",9"#8000ff",10"#ff00ff",11"#ff0080",12"#ff0000")

cyclic_c
色は色相環を元に作っています。
周期的な関数を出力するときに役に立ちます。例えば、リーマン面を角度に依存させて表示する際などに利用すると良いです。こんなように。
Riemann_angle


set palette defined(1"#0000ff",2"#0080ff",3"#00ffff",4"#00ff80",5"#00ff00",6"#80ff00",7"#ffff00",8"#ff8000",9"#ff0000")

cl2_c
色相環を元に作成したものです。


set palette defined (-9 "purple",-6 "blue",-3 "turquoise", 0 "#f5f5f5", 3 "gold", 6 "orange", 9 "red")

cwhite
※匿名希望さん提供


set palette defined(0"#ffffff",0.8"#00008b",1.8"#2ca9e1",3"#008000",4.2"#ffff00",5"#eb6101",5.5"#8b0000")

カラフルtr_c
白⇒青⇒水色⇒黄色⇒オレンジ⇒赤
細かい変化を見たい時にいい感じになります。


set palette defined(0"#000000",1"#0000ff",2"#1e90ff",3"#00ffff")

黒から青tr_c
黒⇒青⇒明るい青
不連続な関数を表示させる時にこのマップを使うといい感じになります。


set palette defined(0"#ffffff",1"#0000ff",2"#ff0000",3"#ffff00")

白青黄tr_c
白⇒青⇒赤⇒黄
上の2つが気に入らなかったりした時に。


set palette defined(0"#00008b",1"#2ca9e1",2"#38b48b",3.5"#ffff00",5"#eb6101",5.3"#c9171e")

カラフルatr_c
青⇒水色⇒黄色⇒オレンジ⇒赤
一番下が白じゃないほうがいいときに。

(4) rgbformulaeで指定する

set palette rgbformulae 33,13,10

”set palette rgbformulae” のあとの3つの整数で赤(R)/緑(G)/青(B)に対応しています。
整数で赤、緑、青をどのような変化具合をさせるのかということを指定します。
直線的に色を変化させるのか、2次、3次関数的なのかはたまたsin,cos的なのかを。どういった整数を使えばどういう関数に相当するのか?
これを知るには gnuplot上で
”show palette rgbformulae”
と打ってください。gnuplot ver.4.6では、以下の画像のように出力されます。
rgbformulae_c
0~36まで出てきます。指定は-36~36までできます。負の値は反転することを意味しています。

また、いくつかのrgbformulaeを使った例が ”help palette rgbformulae” で見れます。実際に入力するとこんな感じ。
helprgb_c
helpで現れるカラーマップはこんな感じです。
rgbformulae_help_c

また、今使っているカラーマップをrgbformulaeで記述をしたい場合、

show palette fit2rgbformulae

とやれば、今使っているカラーマップをrgbformulaeで表示する場合の3つの数字を出してくれます。
あくまで似た図です。

デフォルトのカラーマップを変更する

デフォルトのカラーマップを変更するには、ホームディレクトリにて、
.gnuplot
という名前のファイルを作り、その中に

set palette defined(0"#ffffff",0.8"#00008b",1.8"#2ca9e1",3"#008000",4.2"#ffff00",5"#eb6101",5.5"#8b0000")

と記述します。これでデフォルトのカラーマップが変更されます。

ちなみに、僕が使っている.gnuplotファイルは以下のものです。

#set terminal wxt solid noraise enhanced
set terminal wxt dashed noraise enhanced
set palette cubehelix start 0.5 cycles -1 saturation 3
 set linetype  1 lc rgb "dark-violet" lw 1
 set linetype  2 lc rgb "#009e73" lw 1
 set linetype  3 lc rgb "#56b4e9" lw 1
 set linetype  4 lc rgb "#e69f00" lw 1
 set linetype  5 lc rgb "#f0e442" lw 1
 set linetype  6 lc rgb "#0072b2" lw 1
 set linetype  7 lc rgb "#e51e10" lw 1
 set linetype  8 lc rgb "#black"  lw 1
# set linetype  9 lc rgb "#gray50" lw 1
# set linetype cycle  9
 set linetype cycle  8

2行目はプロットした時に画面が一番前に来るのをやめさせる文。
3行目はpm3dのカラーマップの変更。
3~12行目は線のデフォルトの色を変更する文です。
14行目は色が8色を超えた時に1色目に戻ってループしてください、という文です。

配色のあれこれ、gnuplot demoより。
カラフルに塗りたい http://gnuplot.sourceforge.net/demo/pm3dcolors.html
モノクロに塗りたい http://gnuplot.sourceforge.net/demo/pm3dgamma.html
点に色をつけたい http://gnuplot.sourceforge.net/demo/rgb_variable.html
線に色をつけたい http://gnuplot.sourceforge.net/demo/rainbow.html

http://ayapin-film.sakura.ne.jp/Gnuplot/Primer/Misc/colormap.html

[1]D. A. Green(2011), ‘A colour scheme for the display of astronomical intensity images’, Bulletin of the Astronomical Society of India, 39, 289.(2011BASI…39..289G at ADS.)

またDave Green’s `cubehelix’ colour schemeをご覧下さい。

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LinuxMintでアップデート失敗

僕の環境は、
VMware(R) Player バージョン7.1.0 build-2496824
に、LinuxMint 17.1 Rebeccaをインストールしている環境です。

sudo apt-get update
sudo apt-get dist-upgrade

をした後、再起動したあと、
LinuxMintの起動後にモードを選択する画面が表示され、

udevadm trigger is not permitted while udev is unconfigured.
udevadm settle is not permitted...
...
ALERT! /dev/disk/by-uuid/....-....-....-.... -.... does not exist.
Dropping to shell!
BusyBox v1.21.1 (Ubuntu 1:1.21.0-1ubuntu1) built-in shell (ash)
Enter 'help' for a list of built-in commands.

(initramfs) _

画像ではこんな感じになりました。
20150511-51639_b_c1
※uuidを晒しても安全か分からなかったため、念のため隠しています。

こうなってしまった後の場合の復帰方法を書きます。手順を書けば、

  1. liveCD からLinuxを起動
  2. “sudo fdisk -l” を入力し、ブートディスクを確認する, 僕の場合は /dev/sda1 でした。
  3. “sudo mkdir /media/newroot” を入力
  4. “sudo mount /dev/sda1 /media/newroot”, を入力, ブートディスクを作成したディレクトリに変更
  5. “sudo chroot /media/newroot” を入力
  6. “sudo apt-get update”
  7. “sudo apt-get dist-upgrade”
  8. 再起動で幸せに!

で治りました。
Thread: “udevadm trigger is not permitted while udev is unconfigured.”より。
ただし、6,7の手順ではすんなりアップデートはできず、apt-get update入力後失敗し、
>代わりにconfigure…を入力してください
と出て、こちらを改めて入力しました。
また、dist-upgradeもすんなりはできず、オプション追加して再入力してください、とあったのでその通りにしました。


詳しく書いていきます。

  1. liveCD からLinuxを起動

    必要なのは使っているLinuxの.isoファイルです。
    LiveCDはLinuxをインストールしたときに使用した,LinuxOSが入っているCD/DVD/USBのことです。
    ですが、物理的なCDドライブは特に必要ありません。.isoイメージファイルさえあればokです。
    LinuxMint17.1の場合はisoイメージファイルを
    Download Linux Mint 17.1 Rebecca
    よりダウンロードできます。日本の場合はno-codecs版です。
    ※ちなみに、VMwareでUSBからのブートは出来ません。Biosに項目があるかもしれませんが、できません。
    ダウンロードしたら、VMwareの設定で、起動時に仮想ドライブを起動するようにします。
    仮想マシンの設定を選択して、設定します。
    20150512-164029a_ca_c
    ↑を選択してから
    20150512-213544_c_c
    を選択してokを。

    そして、問題になっているLinuxを起動し、Bios画面を表示させ、CDromから起動するように変更します。
    起動の途中でEscを押せばBios画面に入れるのですが、一瞬で読み込みが終わり、起動画面は消えるので結構シビアです。
    確実にBios画面に入るためにはVMwareをCDブート、USBブートする/VMwareのBIOS画面を出すより、このようにすればいいそうです。

    仮想OSを作成したフォルダ内の「*.vmx」ファイルに、以下の1行を追加する事で、ESCキーを受け付ける時間を延ばす事が可能です。
    BIOS.BootDelay = “5000”
    単位はミリ秒。上記の場合、5秒間の猶予が出来ます。
    2~3秒に設定していると、意外にあっという間に通過します。お勧めは4~6秒くらいです。
    余談ですが、以下の一行を追加すると、毎回BIOS画面に入れます
    bios.forceSetupOnce = “TRUE”

    そうして起動します。するとGUIでLinuxMintが起動するかと思います。そうしたらターミナルを開いて次のステップに進みます。

  2. “sudo fdisk -l” を入力し、ブートディスクを確認する

    次に、今使われているブートディスクは何なのか、を調べます。

    sudo fdisk -l

    を入力するとこの画像のように表示されることでしょう。
    20150512-162004_c
    ここで、左から2列目、”Boot” とある欄を見ますとアスタリスクが付いていることが分かります。
    なので、これが自分のBootディスク、ということになります。
    上の画面の場合は/dev/sda1, ということです。

  3. “sudo mkdir /media/newroot” を入力

    説明はありません。

  4. “sudo mount /dev/sda1 /media/newroot” を入力

    説明はありません。

  5. “sudo chroot /media/newroot” を入力

    説明はありません。

  6. “sudo apt-get update”

    ここでちょっと躓きました。僕の場合だけかもしれませんが、エラーが出されました。
    > Err http://…
    みたいな文がずらずらと。ただ、よくよくエラー文を読むと、
    代わりにconfigure…を入力してください
    とあったのでこれを入力しました。そうしたら、とりあえずokとなりました。

  7. “sudo apt-get dist-upgrade”

    次にこれを入力します。ここでもエラーが出ましたが、エラー文に
    オプションを追加して入力してください、
    とあったのでその通りにしたらokとなりました。

  8. 再起動

    再起動すれば元通り!
    この時、Bios画面か、仮想CD/DVDドライブから読み込ませないようにしておかないと意味がないので外しておきましょう。

途中、sudo に関して、

sudo: unable to resolve host

が出てきました。一応解決するためにはこのリンク先通りにやれば解決します。
これが必要な手順か、は知りません。

カーネルが、という場合もあるようです。その時は手順6,7が違うものになるそうです。

参考先

Thread: “udevadm trigger is not permitted while udev is unconfigured.” このエラーのフォーラム
Download Linux Mint 17.1 RebeccaLinux Mint 17.1 Rebeccaのダウンロード
VMwareをCDブート、USBブートする/VMwareのBIOS画面を出すBIOS画面を確実に出すためには。
sudo: unable to resolve host が表示されたらsudoの解決

とある詳しい方。

虫避け(蚊避け)に有効な成分

実家に蚊がたくさん出る!

ベランダにつるす奴とかはまるで効かない。
ブシューってやる缶に入ったスプレータイプは持続性がない。

なんかいいの調べて?っていわれたのでちょっと調べてみました。

ワンプッシュタイプが開発され、これは従来の「ディート」と呼ばれる忌避成分と比較して比べ物にならないくらい安全で強力らしいです。
ワンプッシュタイプで一番いい成分は、調べた中では

メトフルトリン

という成分が良いそうです。次に

トランスフルトリン

がよさげですね。使った感じは、かなり効きます。

たとえば、この製品はメトフルトリンを用いています。
同じ会社の製品でも、こちらはトランスフルトリン。

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メトフルトリンに関して、文献[1]をかいつまむと、

ファン式製剤では、

メトフルトリンはトランスフルトリンの約3倍の効力を有することが判明した

から、メトフルトリンはトランスフルトリンの単純に3倍くらいの効きがいいんでしょう。

毒性は、メトフルトリンの致死量はラットに対し、経口で約2g /kgとのことなので、食べて死ぬことはないでしょう。
ちなみに、塩の致死量は3~3.5g/kg らしいです。
また、2日間程度で90%以上が体から排出されるそうなので、安全でしょう。きっと。何十gという量は忌避剤として使う量ではないので大丈夫そうです。

ただし、ピレスロイド共通の作用である神経系に対する症状は出るようです。

まぁ、含まれている成分量が3倍くらい違ったらおんなじくらいの効果、といったところなのでしょうか。
どの割合で入っているかはちょっと見ないと分かりません。
同じピレスロイド系なので、素人考えですが、もし安全性をかんがえるなら、少ない成分で効果を発揮できるメトフルトリンのほうがいいんじゃないでしょうか。
両方とも通常使う範囲で影響が出るとは思えませんが…

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参考文献
[1]新規ピレスロイド系殺虫剤 メトフルトリン(SumiOne®、エミネンス®)の開発
[2]昆虫はノックダウン、人にはほぼ無害の理想的な殺虫剤
[3]致死量

演算子の種類と説明

\(\hat{A}\)がエルミート演算子ならば、\(e^{i\hat{A}}\)はユニタリー演算子である。

この文の意味が分かる人はこのページはいらないと思います。


前提として、一度勉強した人が思い出す、という体を想定しています。
詳しくブラケット表記であるとか、正しく知りたい人は、
J. J. Sakurai著 桜井 明夫訳『現代の量子力学〈上〉』 (物理学叢書) (1989)



David J.Tannor著 山下晃一訳 『入門 量子ダイナミクス 時間依存の量子力学を中心に(上)』 化学同人
などを参考にしてください。このページの参考先もこの2つです。


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エルミート演算子(Hermite Operator)


エルミート演算子は自己随伴演算子とも呼ばれます。

  • ディラックのブラ・ケット表記で考えます。
    演算子\(\hat{A}\)の状態\(u\)と状態vによる内積を\(\langle u|\hat{A}|v\rangle \)と、表現します。
    関数による表現では、
    \(
    \displaystyle \langle u|\hat{A}|v\rangle =\int u^* \hat{A} v dx
    \)

    となるわけです。この時、
    \(
    \langle u|\hat{A}|v\rangle^*=\langle v|\hat{A}^{\dagger}|u\rangle
    \)

    を関係を満たす演算子を随伴演算子と呼び、\(\hat{A}^{\dagger}\)と表現します(\(\hat{A}\)のエルミート共役を取る、とも言います)。

    状態による表記では、
    \(
    \displaystyle \hat{A}|v\rangle =\lambda |v\rangle
    \)

    に対してエルミート共役を取ると、
    \(
    \displaystyle \langle v|\hat{A}^{\dagger} =\lambda^* \langle v|
    \)

    と書けます。

    そして、たまたま\(\hat{A}^{\dagger}\)が\(\hat{A}\)に等しい場合、すなわち、
    \(
    \hat{A}^{\dagger}=\hat{A}
    \)

    を満たすとき、演算子\(\hat{A}\)はエルミート演算子(自己随伴演算子)だ、と呼びます。

  • エルミート演算子の持つ性質
    1. エルミート演算子の固有値は実数である。
      \(
      \hat{A}|v\rangle=\lambda |v\rangle
      \)

      左から\(v\)を掛けて、内積を取り、式変形します。式変形は2通り考えられて、

      \(
      \begin{eqnarray}
      \left\{
      \begin{aligned}
      \langle v|\hat{A}|v\rangle&=\langle v|\lambda |v\rangle=\lambda\langle v|v\rangle \\
      \langle v|\hat{A}|v\rangle&=\langle v|\hat{A}^{\dagger}|v\rangle=
      \langle v|\lambda^*|v\rangle=\lambda^*\langle v|v\rangle
      \end{aligned}
      \right .
      \end{eqnarray}
      \)

      となります。同じものから出発したので値は同じものになるはずです。なので
      \(\lambda=\lambda^*\)
      これを満たす\(\lambda\)は虚数部がゼロでなければなりません。
      よってエルミート演算子の固有値は実数である、となります。

    2. あるエルミート演算子が異なる2つの固有値を持つ場合、これらの固有値に対応する固有関数は互いに直交する。
      2つの固有値を\(\lambda_1, \lambda_2\)と書いて、
      それぞれの固有値に属する固有ベクトルを\(|v_1\rangle, |v_2\rangle\)と書くことにします。すなわち、
      \(
      \hat{A}|v_1\rangle=\lambda_1 |v_1\rangle \ ,\ \ \ \ \hat{A}|v_2\rangle=\lambda_2 |v_2\rangle
      \)

      であるとします。ここで\(\lambda_1\neq \lambda_2\)です。
      1番目の式に左から左から\(\langle v_2|\)を作用させて式変形します。式変形は2通り考えられて、
      \(
      \begin{eqnarray}
      \left\{
      \begin{aligned}
      \langle v_2|\hat{A} |v_1\rangle&=\langle v_2|\lambda|v_1\rangle=\lambda_1\langle v_2|v_1\rangle \\
      \langle v_2|\hat{A}|v_1\rangle&=\langle v_2|\hat{A}^{\dagger}|v_1\rangle=
      \lambda_2^*\langle v_2|v_1\rangle=\lambda_2\langle v_2|v_1\rangle
      \end{aligned}
      \right .
      \end{eqnarray}
      \)

      同じものから出発したので、
      \(
      \begin{align}
      \lambda_1\langle v_2|v_1\rangle=\lambda_2\langle v_2|v_1\rangle \\
      \rightarrow (\lambda_1-\lambda_2)\langle v_2|v_1\rangle=0
      \end{align}
      \)

      仮定より、\(\lambda_1\neq \lambda_2\)なので、\(\langle v_2|v_1\rangle=0\)になるほかありません。
      \(\langle v_2|v_1\rangle=0\)は内積がゼロ、すなわち直交である、と言っているので仮定は示されました。
  • ある状態\(\phi\)が、演算子\(A\)の固有値\(\lambda_i\)に属する固有状態\({v_i}\)の組で書かれるとき、
    すなわち、
    \(
    \displaystyle |\phi\rangle=\sum_ia_i|v_i\rangle
    \)

    で書かれるとき、
    \(
    \displaystyle \frac{\langle\phi|\hat{A}|\phi\rangle}{\langle\phi|\phi\rangle}
    =\sum_i p_i \lambda_i,\ \ \ p_i\equiv \frac{|a_i|^2}{\sum_i|a_i|^2}\ \ \cdots (a)
    \)

  • 量子力学の中心的教義は以下の3つを主張しています。
      (i)     全ての観測量にはエルミート演算子\(\hat{A}\)が結び付けられる。
      (ii)   \(\hat{A}\)に属する観測量の測定について、起こりうる結果は\(A\)の固有値\(\{A_i\}\)のみ。
      (iii)  系が状態\(|\phi\rangle=\sum_ia_i|v_i\rangle\)にあれば、
      \(\lambda_i\)の値を得る確率は\((a)\)で与えた\(p_i\)で与えられる。
      また、\(\displaystyle \sum_ip_i\lambda_i\)は\(\hat{A}\)を測定した平均値、もしくは期待値である。
  • おまけ
    随伴行列\(A^{\dagger}\)は、\(\hat{A}\)の転置行列の複素共役で与えられます。
    \(
    (A_{ij})^{\dagger}=A^*_{ji}
    \)

    特に、エルミート行列の場合、\(A^{\dagger}=A^*\)なので、
    \(
    A_{ij}=A^*_{ji}
    \)

    対角要素については\(A_{ii}=A^*_{ii}\)が成り立つので、エルミート行列の対角要素は実数でなければならないことがわかります。

逆演算子


\(\hat{A}\)の逆\(\hat{A}^{-1}\)を意味します。

  • 定義

    \(\hat{A}|u\rangle=|v\rangle\ \ \ \cdots (1)\)
    のとき、逆演算子\(\hat{A}^{-1}\)は
    \(|u\rangle=\hat{A}^{-1}|v\rangle\ \ \ \cdots (2)\)
    と定義されます。

  • 性質

    (1)の左から\(\hat{A}^{-1}\)を作用させると、
    \(\hat{A}^{-1}\hat{A}|u\rangle=\hat{A}^{-1}|v\rangle\ \ \ \cdots (1-1)\)
    (2)の左から\(\hat{A}\)を作用させると、
    \(\hat{A}\hat{A}^{-1}|u\rangle=\hat{A}|v\rangle\ \ \ \cdots (2-1)\)

    (1)と(2-1), (2)と(1-1)を見比べれば、明らかに
    \(\hat{A}\hat{A}^{-1}=\hat{A}^{-1}\hat{A}=\mathbf{1}\)
    となります。

  • 逆演算子の存在
    全ての演算子に逆演算子があるわけではありません。以下の通り、逆が存在しない場合があることを示せます。
    演算子\(\hat{A}\)が2つの異なる初期ベクトルを同じ終ベクトルに写す状況を考えます。式で表せば、
    \(
    \begin{eqnarray}
    \left\{
    \begin{aligned}
    \hat{A}|u_1\rangle&=|v\rangle \ \ \ (3)\\
    \hat{A}|u_2\rangle&=|v\rangle \ \ \ (4)
    \end{aligned}
    \right.
    \end{eqnarray}
    \)
    ここで、
    \(\hat{A}^{-1}|v\rangle\)を考えた時、それを\(|u_1\rangle\)か、\(|u_2\rangle\)かを決める術はありません。
    よって逆が存在しないことになります。
    また、 \((4)-(3)\)を行うと、
    \(
    (4)-(3)=\hat{A}(|u_1\rangle-|u_2\rangle)=\mathbf{0}
    \)
    となります。この意味は、\(\hat{A}\)は\(\mathbf{0}\)ではない、いくつかのベクトルを消去する、ということを表現しています。
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ユニタリー演算子


ユニタリー演算子は演算子\(\hat{A}\)の逆演算子\(\hat{A}^{-1}\)が
\(\hat{A}\)のエルミート共役\(\hat{A}^{\dagger}\)に等しいとき、その演算子はユニタリー演算子だ
、と定義されます。すなわち、
\(
\hat{A}^{-1}=\hat{A}^{\dagger}
\)
を満たすとき、と定義されます。
また、別の表現では
\(
\hat{A}^{\dagger}\hat{A}=\hat{A}\hat{A}^{\dagger}=\mathbf{1}
\)
という場合もありますが同じことです。
ユニタリー演算子はよく、\(\hat{U}\)という表記がされます。

  • ユニタリー演算子の性質
    1. ユニタリー演算子はノルムを保存する。
      ユニタリー演算子が状態\(|u\rangle\)に作用した場合を考えます。この時、ノルムは自身の内積を取ればいいので、
      \(\langle u|\hat{A}^{\dagger}\)と\(\hat{A}|u\rangle\)を作用させればノルムになります。故に、
      \(
      \langle u|\hat{A}^{\dagger}\hat{A}|u\rangle=\langle u|u\rangle
      \)
      であり、ノルムは変わりません。
    2. ユニタリー演算子の固有値は絶対値\(\mathbf{1}\)を必ず含む。
      あるユニタリー演算子を\(\hat{U}\)と書き、固有値問題を
      \(
      \hat{U}|v\rangle=\lambda |v\rangle\ \ \ (5)
      \)
      と書きます。

      両辺のエルミート共役をとって、
      \(
      \displaystyle \langle v|\hat{U}^{\dagger} =\lambda^* \langle v|
      \)

      ユニタリー演算子の性質を使うと、
      \(
      \displaystyle \langle v|\hat{U}^{-1} =\lambda^* \langle v|
      \)

      右から\(\hat{U}\)を作用させて、
      \(
      \begin{align}
      \displaystyle \langle v|\hat{U}^{-1}\hat{U} &=\lambda^* \langle v|\hat{U} \\
      \displaystyle \langle v|\hat{U} &=\frac{1}{\lambda^*}\langle v| \ \ \ \ (6)
      \end{align}
      \)

      (5)に左から\(\langle v|\)を作用させると、
      \(
      \langle v|\hat{U}|v\rangle=\langle v|\lambda |v\rangle=\lambda\langle v |v\rangle\ \ \ (7)
      \)

      であり、また、内積を以下のように変形し、(6)を使うと、
      \(
      \displaystyle \langle v|\hat{U}|v\rangle=\frac{1}{\lambda^*}\langle v|v\rangle\ \ \ (8)
      \)

      従って、式(7),(8)は同じものから出発したので等しいはずで、
      \(
      \begin{align}
      \lambda\langle v |v\rangle&=\frac{1}{\lambda^*}\langle v|v\rangle \\
      &\rightarrow |\lambda|^2=1
      &\rightarrow |\lambda|=1
      \end{align}
      \)
      となるため、ユニタリー演算子の固有値は必ず絶対値1を含みます
      ※これは、\(e^{i\theta},\ \ \ \theta\)は実数、であればいいと言っています。1である必要性はありません。

    3. 異なる固有値を持つユニタリー演算子の固有状態は直交する
      異なる2つの固有値を\(\lambda_1, \lambda_2\)と書き、
      それぞれの固有値に属する固有ベクトルを\(|v_1\rangle, |v_2\rangle\)と書くことにします。
      \(|v_2\rangle\)と\(|v_1\rangle\)による内積をそれぞれ考えると、
      \(
      \langle v_2|\hat{U}|v_1\rangle=\langle v_2|\lambda |v_1\rangle=\lambda_1\langle v_2 |v_1\rangle\ \ \ (9)
      \)

      と変形できるし、
      \(
      \langle v_2|\hat{U}|v_1\rangle=\frac{1}{\lambda_2^*}\langle v_2|v_1\rangle=\lambda_2\langle v_2|v_1\rangle \ \ \ (10)
      \)

      とも変形できます。最後の変形は2.の性質、絶対値1を持つことを利用しています。
      2つの固有値\(\lambda_1, \lambda_2\)は違う値を仮定したので、(9)=(10)が成り立つためには
      \(\langle v_2|v_1\rangle=0\)
      でなければなりません。よって、ユニタリー演算子の異なる固有値に属する固有状態は直交していなければなりません。

ユニタリー演算子とエルミート演算子


エルミート演算子からユニタリー演算子を作る方法を示します。
この方法は運動量演算子の導出でも用いるので、覚えておいて損はないかと思います。

\(\hat{A}\)がエルミート演算子ならば、\(e^{i\hat{A}}\)はユニタリー演算子である。
演算子\(e^{i\hat{A}}\)の逆行列を考えて、それがエルミート共役に等しくなるか、見てみます。
定数に対するエルミート共役は単なる複素共役、\(\hat{U}=\hat{U}^{\dagger}\)であることを利用すると、
\(
\begin{align}
\left(e^{i\hat{A}}\right)^{-1}&=e^{-i\hat{A}} \\
&=1+(-i\hat{A})+\frac{(-i\hat{A})^2}{2!}+\cdots \\
&=1+(i\hat{A})^{\dagger}+\frac{\left\{(i\hat{A})^{\dagger}\right\}^2}{2!}+\cdots \\
&=\left(e^{i\hat{A}}\right)^{\dagger}
\end{align}
\)
となり、ユニタリー演算子の定義\(\hat{U}^{-1}=\hat{U}^{\dagger}\)を満たしていることがわかります。

逆行列とユニタリー行列


行列表記と演算子表記は同じものです。
量子力学では、ユニタリー行列の逆行列に関心があります。数式ならば、
\(\hat{U}^{-1}_{ij}=\hat{U}^{\dagger}_{ij}=\hat{U}^{*}_{ji}\)
ということです。

ユニタリー行列の性質の一つに、ユニタリー行列の列ベクトルは正規直交ベクトルである、ことを示しましょう。
逆行列との積は\(\mathbf{1}\)に等しいので
\(
(\hat{U}^{-1}\hat{U})_{ik}=\delta_{ik}
\)
です。これを踏まえ、ユニタリー演算子の性質を使って、
\(
\begin{align}
(\hat{U}^{\dagger}\hat{U})_{ik}&=\sum_j\hat{U}_{ij}^{\dagger}\hat{U}_{jk} \\
&=\sum_j\hat{U}_{ji}^{*}\hat{U}_{jk}=\delta_{ik}
\end{align}
\)
という結果が得られます。最後の式から、行列\(U\)の2つの列ベクトルの内積、これが\(\delta_{ik}\)に等しいことがわかります。
故にユニタリー行列の列ベクトルは正規直交ベクトルであることが示されました。

ちなみに、逆行列を得るための一般的な手続きは、
①  行列を対角形に変形

②  対角要素を逆数に

③  逆変換
という流れで行われます。

jetpack、人気の投稿とページのサムネ変更

Jetpackのwidgetである”人気の投稿とページ”を利用して右側の人気のページを表示させているわけですが、サムネイルが小さいのです。

サムネイルを変更するためにやることは、

テーマのfunctions.phpに追加
cssに追加

です。

functions.phpに追加

How to change the size of the thumbnails in the Top Posts widgetによると、
まず、使っているテーマのfunctions.phpに以下の文を追記します。

function jeherve_custom_thumb_size( $get_image_options ) {
        $get_image_options['avatar_size'] = 600;
 
        return $get_image_options;
}
add_filter( 'jetpack_top_posts_widget_image_options', 'jeherve_custom_thumb_size' );

CSSに追加①

次にCSS編集のプラグインに

.widget_top-posts .widgets-list-layout-blavatar {
    width: 40%;
    max-width: 600px;
}

を追記します。
こうすればサムネイルの大きさが大きくなります。

CSSに追加②

僕だけかもしれませんが、リンクがこんな風に変わってしまいました。
リンクずれ_c
これを解決するためにはCSS編集用のプラグインに

.widgets-list-layout-links {
    float: right;
    width: 55%;
}

を追記すればいいです。

サムネイル画像を切り取りではなく、縦横比にしたり、サムネイルを横長にしたりしたいと思いましたが、変更方法は分かりません。調べても出てこないです。